Estime a área sob o gráfico
de
até
usando três retângulos aproximantes e extremidades esquerdas. Então, aperfeiçoe sua estimativa utilizando seis retângulos aproximantes.
Passo 1
O enunciado pede para estimar, pelo método dos retângulos com extremidades esquerdas, a área sob a curva f(x)=1+x² de x=-1 a x=2 usando primeiro 3 retângulos e depois 6. Vamos usar o conceito de soma de Riemann: particionamos o intervalo em n subintervalos de largura
, avaliamos f nos pontos esquerdos e somamos
.
Passo 2
Para n=3 retângulos, calculamos a largura de cada subintervalo:
Os pontos de partição ficam em
e os pontos esquerdos são
. Avaliamos a função nesses valores:
f(-1)=2,
f(0)=1,
f(1)=2.
Então a soma de Riemann é
f(-1)=2,
f(0)=1,
f(1)=2.
Então a soma de Riemann é
Passo 3
Logo, a estimativa da área usando 3 retângulos à esquerda é 5.
Passo 4
Para n=6 retângulos, temos
Os pontos de partição são
e os esquerdos são
. Avaliamos a função:
f(-1)=2,
f(-0.5)=1.25,
f(0)=1,
f(0.5)=1.25,
f(1)=2,
f(1.5)=3.25.
A soma de Riemann fica
f(-1)=2,
f(-0.5)=1.25,
f(0)=1,
f(0.5)=1.25,
f(1)=2,
f(1.5)=3.25.
A soma de Riemann fica
Passo 5
Portanto, a estimativa da área usando 6 retângulos à esquerda é 5.375.
Resposta
Estimativa com 3 retângulos: 5; estimativa com 6 retângulos: 5.375.