Estime a área sob o gráfico f(x)=1+x^2 de x=-1 até x=2 usando três retângulos aproximantes e extremidades esquerdas. Então, aperfeiçoe sua estimativa utilizando seis retângulos aproximantes.

Passo 1

O enunciado pede para estimar, pelo método dos retângulos com extremidades esquerdas, a área sob a curva f(x)=1+x² de x=-1 a x=2 usando primeiro 3 retângulos e depois 6. Vamos usar o conceito de soma de Riemann: particionamos o intervalo em n subintervalos de largura , avaliamos f nos pontos esquerdos e somamos .

Passo 2

Para n=3 retângulos, calculamos a largura de cada subintervalo:
De
Os pontos de partição ficam em sumi=1^3f(xi-1),De e os pontos esquerdos são . Avaliamos a função nesses valores:
f(-1)=2,
f(0)=1,
f(1)=2.
Então a soma de Riemann é

Passo 3

Logo, a estimativa da área usando 3 retângulos à esquerda é 5.

Passo 4

Para n=6 retângulos, temos
De
Os pontos de partição são sumi=1^6f(xi-1),De e os esquerdos são . Avaliamos a função:
f(-1)=2,
f(-0.5)=1.25,
f(0)=1,
f(0.5)=1.25,
f(1)=2,
f(1.5)=3.25.
A soma de Riemann fica

Passo 5

Portanto, a estimativa da área usando 6 retângulos à esquerda é 5.375.

Resposta

Estimativa com 3 retângulos: 5; estimativa com 6 retângulos: 5.375.

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