Estime a área sob o gráfico f(x)=1+x^2 de x=-1 até x=2 usando três retângulos aproximantes e os pontos médios. Então, aperfeiçoe sua estimativa utilizando seis retângulos aproximantes.

Passo 1

O enunciado pede pra gente estimar a área sob a curva de f(x)=1+x^2 no intervalo de x=-1 a x=2, usando o método dos retângulos pelo ponto médio. Esse conteúdo faz parte de aproximações de integrais definidas (somas de Riemann) e vamos precisar calcular a largura de cada subintervalo ( De), achar os pontos médios e somar f(ponto médio),Deé.

Passo 2

Primeiro, vamos usar n=3 retângulos. A largura de cada retângulo é
De
Os nós do particionamento são -1,0,1,2 e, portanto, os pontos médios de cada subintervalo são
m1 = -0.5, m2 = 0.5, m3 = 1.5

Passo 3

Agora avaliamos f em cada ponto médio e somamos:
f(m1)=1+(-0.5)^2 = 1.25, f(m2)=1+0.5^2 = 1.25, f(m3)=1+1.5^2 = 3.25
A soma de Riemann pelo ponto médio fica
sumi=1^3 f(mi),De

Passo 4

Em seguida, refinamos a aproximação com n=6 retângulos. Agora
De
Os nós são -1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2 e os pontos médios
m1=-0.75,; m2=-0.25,; m3=0.25,; m4=0.75,; m5=1.25,; m6=1.75

Passo 5

Avaliando f nesses pontos e somando:
f(-0.75)=1.5625, ;f(-0.25)=1.0625, ;f(0.25)=1.0625, ;f(0.75)=1.5625, ;f(1.25)=2.5625, ;f(1.75)=4.0625
Então
sumi=1^6 f(mi),De

Resposta

Aproximação com 3 retângulos (ponto médio): 5.75;
Aproximação com 6 retângulos (ponto médio): 5.9375.

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