(Valor 2 pontos) Mostre que as funções
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que o conjunto de funções {f₁(t)=1, f₂(t)=t, f₃(t)=t², f₄(t)=t³} é linearmente independente. O conteúdo é dependência linear em espaços de funções e vamos precisar da definição de combinação linear e do fato de que um polinômio identicamente nulo tem todos os coeficientes iguais a zero.
Passo 2
Pela definição de independência linear, suponha que existam escalares a₁, a₂, a₃ e a₄ tais que a combinação linear seja a função zero. Ou seja, para todo t satisfazemos
Passo 3
O lado esquerdo é um polinômio de grau no máximo 3 que é nulo para todo t. Um resultado fundamental sobre polinômios diz que se um polinômio é identicamente zero, então todos os seus coeficientes devem ser zero. Comparando coeficientes dos termos em t³, t², t e t⁰, obtemos: a₄ = 0, a₃ = 0, a₂ = 0 e a₁ = 0.
Passo 4
Concluímos que a única solução para a combinação linear nula é a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = 0. Portanto, as funções f₁, f₂, f₃ e f₄ são linearmente independentes.
Resposta
As únicas constantes a₁, a₂, a₃ e a₄ que satisfazem a₁ + a₂ t + a₃ t² + a₄ t³ = 0 para todo t são a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = 0. Logo, as funções são linearmente independentes.