(Valor 2 pontos) Mostre que as funções
& f1(t)=1, & f2(t)=t, & f3(t)=t^2, & f4(t)=t^3,
são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que o conjunto de funções {f₁(t)=1, f₂(t)=t, f₃(t)=t², f₄(t)=t³} é linearmente independente. O conteúdo é dependência linear em espaços de funções e vamos precisar da definição de combinação linear e do fato de que um polinômio identicamente nulo tem todos os coeficientes iguais a zero.

Passo 2

Pela definição de independência linear, suponha que existam escalares a₁, a₂, a₃ e a₄ tais que a combinação linear seja a função zero. Ou seja, para todo t satisfazemos
a1 + a2,t + a3,t^2 + a4,t^3 = 0

Passo 3

O lado esquerdo é um polinômio de grau no máximo 3 que é nulo para todo t. Um resultado fundamental sobre polinômios diz que se um polinômio é identicamente zero, então todos os seus coeficientes devem ser zero. Comparando coeficientes dos termos em t³, t², t e t⁰, obtemos: a₄ = 0, a₃ = 0, a₂ = 0 e a₁ = 0.

Passo 4

Concluímos que a única solução para a combinação linear nula é a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = 0. Portanto, as funções f₁, f₂, f₃ e f₄ são linearmente independentes.

Resposta

As únicas constantes a₁, a₂, a₃ e a₄ que satisfazem a₁ + a₂ t + a₃ t² + a₄ t³ = 0 para todo t são a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = 0. Logo, as funções são linearmente independentes.

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