(Valor 2 pontos) Resolva a equação diferencial linear:
y^prime+yx=cos (x^2)

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem: y′ + tfrac1xy = cos(x²). Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa identificar P(x)= tfrac1x e Q(x)=cos(x²) e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante μ(x) assim: first note que P(x)=tfrac1x, então
μ(x)=e^integral P(x),dx=e^integral1xdx=e^ln|x|=|x|

Passo 3

Para simplificar, vamos trabalhar em um intervalo onde x>0, daí μ(x)=x. Multiplicamos a equação original por μ(x)=x. Isso dá:
x y'+y = xcos(x^2)

Passo 4

Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto x,y:
ddx(x y)=x,y'+y Logo a equação vira
ddx(x y)=xcos(x^2)

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito usamos a substituição u=x^2, então du=2x,dx, isto é x,dx=du/2. Assim:
integral xcos(x^2),dx=integral cos(u)du2=12sin(u)+C=12sin(x^2)+C Então ficamos com
x y=12sin(x^2)+C

Passo 6

Basta isolar y:
y(x)=1xl(12sin(x^2)+Cr)=sin(x^2)2x+Cx

Resposta

y(x)=sin(x^2)2x+Cx

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