Três vetores são dados por \mathbf{a}=3 \mathbf{i}+34 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}, \mathbf{b}= -\mathbf{i}-4 \mathbf{j}+2 \mathbf{k}, \mathbf{c}=2 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}+\mathbf{k}. Ache
\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})

Passo 1

O enunciado dá os três vetores:
\mathbf{a}=3\mathbf{i}+34\mathbf{j}-2\mathbf{k},
\mathbf{b}=-\mathbf{i}-4\mathbf{j}+2\mathbf{k},
\mathbf{c}=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}.
O que nos pede calcular é o produto misto (produto escalar de \mathbf{a} com o produto vetorial de \mathbf{b} e \mathbf{c}):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).

Passo 2

Antes de calcular de fato, vamos lembrar a definição do produto vetorial em componentes. Se
\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z),\qquad \mathbf{c}=(c_x,c_y,c_z),
então
\mathbf{b}\times\mathbf{c}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ b_x & b_y & b_z \\\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix},
isto é, calculamos as componentes usando determinantes 2×2. Aqui temos, extraindo componentes dos vetores dados:
\mathbf{b}=(-1,-4,2)\quad\text{então}\quad b_x=-1,\;b_y=-4,\;b_z=2,ã
\mathbf{c}=(2,2,1)\quad\text{então}\quad c_x=2,\;c_y=2,\;c_z=1.ã

Passo 3

Calculamos a componente na direção \mathbf{i} (primeira componente) por
(b\times c)_x = b_y c_z - b_z c_y.
Substituindo:
(b\times c)_x = (-4)\cdot 1 - 2\cdot 2 = -4 - 4 = -8.

Passo 4

Calculamos a componente na direção \mathbf{j} (segunda componente) por
(b\times c)_y = -(b_x c_z - b_z c_x).
Primeiro dentro dos parênteses:
b_x c_z - b_z c_x = (-1)\cdot 1 - 2\cdot 2 = -1 - 4 = -5,
então
(b\times c)_y = -(-5) = 5.

Passo 5

Calculamos a componente na direção \mathbf{k} (terceira componente) por
(b\times c)_z = b_x c_y - b_y c_x.
Substituindo:
(b\times c)_z = (-1)\cdot 2 - (-4)\cdot 2 = -2 -(-8) = -2 + 8 = 6.

Passo 6

Portanto o produto vetorial é
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = -8\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}.

Passo 7

Agora lembramos a definição do produto escalar: se \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Aqui vamos calcular \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) usando as componentes de \mathbf{a} e de \mathbf{b}\times\mathbf{c}.

Passo 8

As componentes de \mathbf{a} são \mathbf{a}=(3,34,-2). Então
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 3\cdot(-8) + 34\cdot 5 + (-2)\cdot 6.
Calculando termo a termo:
3\cdot(-8) = -24,
34\cdot 5 = 170,
(-2)\cdot 6 = -12.

Passo 9

Somando os termos:
-24 + 170 - 12 = (-24 - 12) + 170 = -36 + 170 = 134.
Uma observação didática: o valor \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é o volume orientado do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. O volume absoluto seria |134|=134.

Resposta

134

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