Estime a energia necessária para dissociar 2 moles de cloreto de rubídio cristalino em íons gasosos, assumindo que a constante de Madelung para esse cristal vale 1,7476 e que os raios do \mathrm{Rb}^{+}e \mathrm{Cl}^{-}valem 1,48 \AA e 1,81 \AA, respectivamente. Considere que a repulsão eletrônica entre esses íons leva a uma correção de 10% na energia do retículo cristalino.
\begin{aligned} & \mathrm{E} \int_{\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{RbCl}(\mathrm{~s})}}^{\mathrm{Rb}^{+}(\mathrm{g})+\mathrm{Cl}^{-}(\mathrm{g})} \\\ & \begin{array}{l} \mathrm{U}_{\mathrm{R}}=-\frac{\mathrm{Mz}_{\mathrm{c}} \mathrm{z}_{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} \mathrm{r}} \\\ \mathrm{U}_{\mathrm{R}}=-\frac{1,7476 \cdot 9 \cdot 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{C}^{-2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot\left(1,6 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}\right)^{2}}{(1,48+1,81) \cdot 10^{-10} \mathrm{~m}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1} \\\ \mathrm{U}_{\mathrm{R}}=-736,76 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} \\\ \mathrm{U}_{\mathrm{R}}-10 \% \mathrm{U}_{\mathrm{R}}=0,9 \mathrm{U}_{\mathrm{R}}=-736,76 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} \cdot 0,9=-663,08 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} \end{array} \\\ & \text { para dissociar } 1 \mathrm{~mol} \text { de } \mathrm{RbCl}(\mathrm{~s}) \rightarrow+663,08 \mathrm{kl} \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede: estimar a energia necessária para dissociar 2 moles de cloreto de rubídio sólido \mathrm{RbCl(s)} em íons gasosos \mathrm{Rb^{+}(g)} e \mathrm{Cl^{-}(g)}.
Dados fornecidos (vou listar tudo que a questão te deu, sem resolver ainda):
  • constante de Madelung: M=1{,}7476 (adimensional);
  • raios iônicos: r_{\mathrm{Rb^{+}}}=1{,}48\\ \text{\AA} e r_{\mathrm{Cl^{-}}}=1{,}81\\ \text{\AA};
  • correção por repulsão eletrônica: reduzir a energia do retículo em 10\% (ou seja, multiplicar por 0{,}9);
  • queremos a energia para dissociar 2 moles (portanto, depois de achar a energia por mol, multiplicamos por 2).
    Também usaremos constantes físicas conhecidas (carga do elétron e constante eletrostática / Avogadro) para calcular a energia por mol.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (explicação didática):
A energia de rede (energia para formar o cristal a partir dos íons isolados) pode ser aproximada pela forma coulombiana simplificada
U = -\,\frac{M\,z_{+}z_{-}\,e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r_{0}}\;N_{A},
onde:
  • U é a energia de rede por mol (em joules por mol, será negativa porque a formação libera energia);
  • M é a constante de Madelung (depende da geometria do retículo);
  • z_{+} e z_{-} são as valências dos íons ( +1 para \mathrm{Rb^{+}} e -1 para \mathrm{Cl^{-}}); o produto z_{+}z_{-}=-1 dá o sinal negativo na energia; nós trabalhamos com o módulo para energia de dissociação;
  • e é a carga elementar do elétron ( e\approx 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C});
  • 4\pi\varepsilon_{0} aparece na lei de Coulomb; é comum usar k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}\,C^{-2}};
  • r_{0} é a distância entre centros iônicos no cristal (aqui aproximada pela soma dos raios iônicos);
  • N_{A} é o número de Avogadro ( 6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}).
Interpretação prática: o valor calculado por essa fórmula dá a energia por mol liberada ao formar o cristal; para dissociar, precisamos fornecer a mesma magnitude de energia (mas positiva). A correção de repulsão reduz a magnitude da energia de rede em 10\%, então multiplicaremos por 0{,}9.

Passo 3

Converter e calcular a distância inter-iónica r_{0}:
Os raios são dados em \text{\AA} (ångström), onde 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}. Então
r_{0}=r_{\mathrm{Rb^{+}}}+r_{\mathrm{Cl^{-}}}=1{,}48\\ \text{\AA}+1{,}81\\ \text{\AA}=3{,}29\\ \text{\AA}=3{,}29\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escolher e apresentar as constantes numéricas que usaremos (valores típicos):
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}\,C^{-2}},
e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
N_{A}=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Também M=1{,}7476 (fornecido) e z_{+}z_{-}=(+1)\cdot(-1)=-1.

Passo 5

Calcular a energia de rede por mol sem a correção de repulsão (mostrando contas passo a passo):
Usando a forma com k,
U = -\,M\,z_{+}z_{-}\,k\,\frac{e^{2}}{r_{0}}\,N_{A}.
Substituindo z_{+}z_{-}=-1 (o sinal negativo já aparece), obtemos o módulo da energia (valor em J/mol):
|U| = M\,k\,\frac{e^{2}}{r_{0}}\,N_{A}.
Agora substituímos os números:
|U| = 1{,}7476 \times 8{,}99\times10^{9}\\ \frac{\mathrm{N\,m^{2}}}{\mathrm{C^{2}}}\times \frac{(1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C})^{2}}{3{,}29\times10^{-10}\\ \mathrm{m}}\times 6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Calculando passo a passo (arredondando em etapas para manter clareza):
e^{2}=(1{,}602176634\times10^{-19})^{2}\approx 2{,}56697\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}},
k\,e^{2}\approx 8{,}99\times10^{9}\times 2{,}56697\times10^{-38}\approx 2{,}307\times10^{-28}\\ \mathrm{J\,m},
\frac{k e^{2}}{r_{0}}\approx \frac{2{,}307\times10^{-28}}{3{,}29\times10^{-10}}\approx 7{,}011\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
M\frac{k e^{2}}{r_{0}}\approx 1{,}7476\times 7{,}011\times10^{-19}\approx 1{,}2247\times10^{-18}\\ \mathrm{J},
|U| \approx 1{,}2247\times10^{-18}\times 6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\approx 7{,}376\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Convertendo para kilojoules por mol:
|U|\approx 737{,}6\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Observação: esse valor é o módulo da energia de rede (formação do cristal libera -737{,}6\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}); para dissociar, precisamos fornecer +737{,}6\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} por mol, antes da correção.

Passo 6

Aplicar a correção de repulsão de 10\%: a questão diz que a repulsão eletrônica reduz a energia do retículo em 10\%, então tomamos 90\% do valor calculado:
|U|_{\text{corr}}=0{,}9\times 737{,}6\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} \approx 663{,}8\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Portanto, para dissociar 1 mol de \mathrm{RbCl(s)} em íons gasosos precisamos fornecer aproximadamente +663{,}8\\ \mathrm{kJ} (energia positiva).

Passo 7

Calcular a energia necessária para 2 moles: basta multiplicar por 2:
E_{2\\ \text{mol}}=2\times 663{,}8\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} \approx 1{,}327{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos, obtemos cerca de 1{,}327{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{kJ} ou 1{,}327{,}7\\ \mathrm{MJ}.

Resposta

1{,}327{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{kJ}

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