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integral0^1(4+3 x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^1 (4 + 3x^2) dx. Aqui a gente está trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar cada termo da função separadamente e depois calcular a diferença entre os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^1 4 , dx + integral0^1 3x^2 , dx
Isso é possível porque a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo integral 4 , dx. A integral de uma constante a em relação a x é a cdot x. Então:
integral 4 , dx = 4x

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo integral 3x^2 , dx. Para isso, usamos a regra de potência:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3

Passo 5

Agora, somamos as integrais encontradas:
4x + x^3
Essa é a antiderivada da função original. Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1.

Passo 6

Vamos calcular em x = 1:
4(1) + (1)^3 = 4 + 1 = 5
E em x = 0:
4(0) + (0)^3 = 0 + 0 = 0

Resposta

Subtraindo os valores:
5 - 0 = 5
Então, o valor da integral integral0^1 (4 + 3x^2) dx é 5.

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