a) (1,0) Estime o livre caminho médio de uma molécula de ar a 27^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Considere as moléculas como esferas de raio r=2 \times 10^{-10} \mathrm{~m}.
b) (1,0) Estime o tempo livre médio de uma molécula de oxigênio com velocidade quadráticà média obtida na questão anterior.

Passo 1

O enunciado pede em (a) estimar o livre caminho médio \lambda de uma molécula de ar a 27^\circ\mathrm{C} e 1 atm usando teoria cinética dos gases, e em (b) estimar o tempo livre médio \tau de uma molécula de \mathrm{O_2} com a velocidade quadrática média obtida antes. As fórmulas principais são
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}
e
\tau = \frac{\lambda}{v_{\mathrm{rms}}}\,.

Passo 2

Calcular a densidade numérica n. Como
n = \frac{p}{k_B T}\,,
usamos p = 1{,}013\times10^5\\ \mathrm{Pa}, k_B = 1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e T = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K}. Logo,
n = \frac{1{,}013\times10^5}{1{,}38\times10^{-23}\times300} \approx 2{,}45\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}\,.

Passo 3

Determinar a seção de choque \sigma. Se as moléculas são esferas de raio r=2\times10^{-10}\\ \mathrm{m}, então o diâmetro é d=2r=4\times10^{-10}\\ \mathrm{m} e
\sigma = \pi d^2 = \pi\,(4\times10^{-10})^2 = 1{,}6\times10^{-19}\,\pi \approx 5{,}0\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}\,.

Passo 4

Calcular \lambda usando
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma} = \frac{1}{1{,}414\times2{,}45\times10^{25}\times5{,}0\times10^{-19}} \approx 6{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}\,.

Passo 5

Relembrar a velocidade quadrática média
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3\,k_B T}{m}}\,,
para \mathrm{O_2} com massa molecular m = 32\,u = 32\times1{,}66\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} \approx 5{,}31\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}. Assim
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3\times1{,}38\times10^{-23}\times300}{5{,}31\times10^{-26}}} \approx 4{,}8\times10^2\\ \mathrm{m/s}\,.

Passo 6

Calcular o tempo livre médio
\tau = \frac{\lambda}{v_{\mathrm{rms}}} = \frac{6{,}0\times10^{-8}}{4{,}8\times10^2} \approx 1{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{s}\,.

Resposta

a) \lambda \approx 6\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
b) \tau \approx 1\times10^{-10}\\ \mathrm{s}.

Exercícios relacionados