Um pedaço de metal com 0,05 \mathrm{~kg} é aquecido à temperatura de 200^{\circ} \mathrm{C} e depois mergulhado num recipiente com 0,5 \mathrm{~L} de água à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Quando o metal e a água atingem o equilíbrio térmico, a temperatura da água é de 22,6{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine a) o calor específico do metal. b) Se em vez de 0,05 \mathrm{~kg} fosse utilizado 500 g de metal à temperatura de 200^{\circ} \mathrm{C}, qual a temperatura de equilíbrio entre a água e o metal?

Passo 1

O enunciado fala de calorimetria: um pedaço de metal de massa m_m=0,05\:\mathrm{kg} a T_{m,i}=200^\circ\mathrm{C} é mergulhado em água de massa m_w=0,5\:\mathrm{kg} (já que 0,5\:\mathrm{L} de água tem massa igual a 0,5\:\mathrm{kg}) a T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C}. No equilíbrio eles ficam a T_f=22,6^\circ\mathrm{C}.
a) Pedem o calor específico c_m do metal.
b) Se em vez de 0,05\:\mathrm{kg} usássemos 0,5\:\mathrm{kg} de metal à mesma temperatura inicial, qual seria a nova T_f?

Passo 2

O princípio é conservação de energia num calorímetro isolado:
Q_{\text{perdido pelo metal}} + Q_{\text{ganho pela água}} = 0.á
Como o metal esfria e a água esquenta, temos
m_m\,c_m\,(T_{m,i}-T_f)=m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}),
onde c_w=4186\:\mathrm{J/(kg\,^\circ C)} é o calor específico da água.

Passo 3

Para achar c_m (parte a), isolamos na equação:
c_m =\frac{m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i})}{m_m\,(T_{m,i}-T_f)}.

Passo 4

Substituindo valores
m_w=0,5\:\mathrm{kg},\quad c_w=4186\:\mathrm{J/(kg\,^\circ C)},\quad T_f-T_{w,i}=22,6-20=2,6^\circ\mathrm{C},
m_m=0,05\:\mathrm{kg},\quad T_{m,i}-T_f=200-22,6=177,4^\circ\mathrm{C},
c_m =\frac{0,5\times4186\times2,6}{0,05\times177,4} =\frac{5441,8}{8,87}\approx613,5\:\mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.

Passo 5

Para a parte (b), com m_m'=0,5\:\mathrm{kg} do mesmo metal, usamos a mesma conservação:
m_m'\,c_m\,(T_{m,i}-T_f') =m_w\,c_w\,(T_f'-T_{w,i}).
Isolando T_f':
T_f' =\frac{m_m'\,c_m\,T_{m,i}+m_w\,c_w\,T_{w,i}} {m_m'\,c_m+m_w\,c_w}.

Passo 6

Substituindo
m_m'=0,5\:\mathrm{kg},\quad c_m=613{,}5\:\mathrm{J/(kg\,^\circ C)},\quad T_{m,i}=200^\circ\mathrm{C},
m_w=0,5\:\mathrm{kg},\quad c_w=4186\:\mathrm{J/(kg\,^\circ C)},\quad T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C},
T_f' =\frac{0,5\cdot613{,}5\cdot200+0,5\cdot4186\cdot20}{0,5\cdot613{,}5+0,5\cdot4186} =\frac{61350+41860}{306{,}75+2093} =\frac{103210}{2399{,}75}\approx43{,}0^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) c_m\approx613{,}5\:\mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
b) T_f'\approx43{,}0^\circ\mathrm{C}.

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