Estime a partir dos dados da tabela para uma distribuição cumulativa em massa, os diâmetros correspondentes a:
a) média aritmética.
b) média harmônica.
c) média cúbica
d) média quadrática.
e) Como se denominam os diâmetros médios notórios em (a) e (b) para a referida distribuição baseada em massa?
Tamanho (mu m) 2 2,8 4 5,6 8 11,2 16 22,4 32 44,8 64 89,6
% cumulativa até o referido tamanho 0,1 0,5 2,7 9,6 23 47,9 73,8 89,8 97,1 99,2 99,8 100

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição cumulativa de massa em função do diâmetro de partícula e pede para estimarmos os seguintes diâmetros médios:
  • média aritmética,
  • média harmônica,
  • média quadrática (RMS),
  • média cúbica.
    Para isso vamos primeiro obter as frações de massa em cada classe a partir das diferenças de percentuais cumulativos, depois aplicar definições de médias ponderadas por massa.

Passo 2

Calculamos a fração de massa fi em cada intervalo como a diferença entre percentuais cumulativos consecutivos (em fração decimal):
di &: 2,;2,8,;4,;5,6,;8,;11,2,;16,;22,4,;32,;44,8,;64,;89,6;(mum), fi &: 0,001,;0,004,;0,022,;0,069,;0,134,;0,249,;0,259,;0,160,;0,073,;0,021,;0,006,;0,002

Passo 3

A média aritmética é
bar drm A = sumi fi,di
Calculando cada termo fi di e somando, obtém-se
bar drm A approx 15,92;mum

Passo 4

A média harmônica é
bar drm H =1sumifidi
e numericamente dá
bar drm Happrox 11,78;mum

Passo 5

A média quadrática (root-mean-square) é
bar drm Q =raizsumi fi,di^2
e resulta em
bar drm Qapprox 18,61;mum

Passo 6

A média cúbica é
bar drm C =gl(sumi fi,di^3gr)^!1/3
cujo valor numérico é
bar drm Capprox 21,96;mum

Passo 7

Para distribuições baseadas em massa, a média aritmética calculada em (a) corresponde ao chamado diâmetro médio volumétrico (ou diâmetro de De Brouckere, D4,3), e a média harmônica de (b) corresponde ao diâmetro médio de Sauter (ou diâmetro de área-superfície, D3,2).

Resposta

(a) bar drm Aapprox15,92;mum
(b) bar drm Happrox11,78;mum
(c) bar drm Capprox21,96;mum
(d) bar drm Qapprox18,61;mum
(e) (a) é o diâmetro médio volumétrico ( D4,3); (b) é o diâmetro médio de Sauter ( D3,2).

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