Velocidade no impacto
a) Determine as componentes v_{x} e v_{y} da velocidade no instante do impacto com o solo.
b) Calcule o módulo da velocidade nesse instante e o ângulo que faz com a horizontal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar as componentes da velocidade no instante do impacto com o solo, isto é v_{x} e v_{y} naquele instante.
b) Calcular o módulo da velocidade nesse instante e o ângulo que essa velocidade faz com a horizontal.
As informações que vamos assumir (porque o enunciado não deu valores numéricos explícitos) são as usuais em lançamentos oblíquos:
  • velocidade inicial v_{0} (módulo);
  • ângulo de lançamento em relação à horizontal \theta (positivo acima da horizontal);
  • altura inicial acima do solo y_{0} (pode ser zero se o lançamento é do solo);
  • aceleração da gravidade g (tomamos g>0 como a magnitude, direção para baixo).
Com essas variáveis podemos dar a resposta geral simbólica, que cobre todos os casos (lançamento do solo ou de uma altura). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e equações de movimento (relembrando a teoria).
  • Tomamos o eixo x horizontal (positivo no sentido do lançamento) e o eixo y vertical (positivo para cima).
  • As componentes iniciais da velocidade são, pela decomposição trigonométrica:
v_{0x} = v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
Explicando rápido: decompor um vetor em horizontal e vertical é multiplicar pelo cosseno e seno do ângulo respectivamente, porque o cosseno dá a projeção sobre o eixo horizontal e o seno sobre o vertical.
  • As equações do movimento (MRU para x e MRUV para y) são:
x(t)=x_{0}+v_{0x}t,
y(t)=y_{0}+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^{2}.
A velocidade em cada componente varia assim:
v_{x}(t)=v_{0x}=v_{0}\cos\theta\quad(\text{constante}),
v_{y}(t)=v_{0y}-gt=v_{0}\sin\theta-gt.

Passo 3

Encontrar o instante do impacto t_{\text{impacto}}.
O impacto com o solo ocorre quando y(t)=0. Logo resolvemos a equação quadrática
y_{0}+v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^{2}=0.
Reescrevendo na forma padrão:
\tfrac{1}{2}g t^{2}-v_{0}\sin\theta\;t - y_{0}=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para at^{2}+bt+c=0 com a=\tfrac{1}{2}g, b=-v_{0}\sin\theta, c=-y_{0}, obtemos as raízes
t=\frac{v_{0}\sin\theta \pm \sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}}{g}.
Como queremos o tempo positivo de queda (o instante físico posterior ao lançamento), escolhemos o sinal “+” na raiz. Assim
t_{\text{impacto}}=\frac{v_{0}\sin\theta + \sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}}{g}.
Comentário intuitivo: o termo dentro da raiz vem da combinação entre energia vertical inicial e a contribuição da altura inicial; sempre aparece (v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}.

Passo 4

Calcular v_{x} no impacto (parte a).
Como não há aceleração horizontal (desprezamos resistência do ar), a componente horizontal da velocidade não muda ao longo do voo. Portanto, no instante do impacto
v_{x}=v_{0}\cos\theta.
Isso é direto: mantenha a decomposição inicial; o eixo x tem movimento retilíneo uniforme.

Passo 5

Calcular v_{y} no impacto (parte a continuação).
Usamos v_{y}(t)=v_{0}\sin\theta-gt e substituímos t=t_{\text{impacto}}. Fazendo a substituição e simplificando (mostro o truque algébrico útil na prova):
v_{y}=v_{0}\sin\theta - g\cdot\frac{v_{0}\sin\theta + \sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}}{g}.
Os termos v_{0}\sin\theta se cancelam, restando
v_{y}=-\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}.
Interpretação: a componente vertical na hora do impacto é negativa (para baixo) e seu módulo é a raiz mostrada. Esse resultado é uma forma compacta que frequentemente aparece em problemas: a velocidade vertical ao atingir o solo depende da componente vertical inicial e da altura inicial pela combinação dentro da raiz.

Passo 6

Calcular o módulo da velocidade no impacto (parte b).
O módulo da velocidade é
v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}.
Substituindo v_{x}=v_{0}\cos\theta e v_{y}=-\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}, temos
v=\sqrt{(v_{0}\cos\theta)^{2} + \bigl(\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}\bigr)^{2}}.
Isso simplifica para
v=\sqrt{v_{0}^{2}+2g y_{0}}.
Comentário didático: observe que as componentes quadradas reconstituem v_{0}^{2} (pois (v_{0}\cos\theta)^{2}+(v_{0}\sin\theta)^{2}=v_{0}^{2}) e sobra o termo 2g y_{0}. Esse resultado está em acordo com o princípio da conservação da energia (energia cinética ganhada devido à queda de altura y_{0} sob gravidade): a velocidade ao atingir o solo leva em conta a energia inicial mais a queda.

Passo 7

Calcular o ângulo que a velocidade faz com a horizontal no impacto (parte b).
Definimos o ângulo \varphi medido a partir da horizontal positiva, sendo positivo acima da horizontal e negativo abaixo. Então
\tan\varphi=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{-\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}}{v_{0}\cos\theta}.
Portanto
\varphi=\arctan\!\left(\frac{-\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}}{v_{0}\cos\theta}\right).
Se preferir dizer “o ângulo abaixo da horizontal em valor positivo” (muito usado em respostas), pode usar
\alpha=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}}{v_{0}\cos\theta}\right),
onde \alpha\ge 0 é o valor numérico do ângulo com a horizontal, indicando que a velocidade forma \alpha abaixo da horizontal.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar (úteis na prova):
  • Caso lançamento do solo ( y_{0}=0), as fórmulas ficam mais simples:
v_{x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{y}=-v_{0}\sin\theta,\qquad v=\sqrt{v_{0}^{2}}=v_{0},
e
\varphi=\arctan\!\left(\frac{-v_{0}\sin\theta}{v_{0}\cos\theta}\right)=-\theta,
ou seja, ao voltar ao mesmo nível a velocidade tem mesmo módulo v_{0} (simetria) e aponta com ângulo -\theta (mesma inclinação abaixo da horizontal).
  • Caso lançamento de altura y_{0}>0, use as fórmulas gerais mostradas acima.
Força prática na prova: memorize a forma elegante
v_{y,\text{impacto}}=-\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}\quad\text{e}\quad v=\sqrt{v_{0}^{2}+2g y_{0}},
elas aparecem muito e economizam cálculos.

Resposta

a) v_{x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{y}=-\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}
b) v=\sqrt{v_{0}^{2}+2g y_{0}},\qquad \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{-\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g y_{0}}}{v_{0}\cos\theta}\right)

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