Velocidade no impacto
a) Determine as componentes
e
da velocidade no instante do impacto com o solo.
b) Calcule o módulo da velocidade nesse instante e o ângulo que faz com a horizontal.
a) Determine as componentes
b) Calcule o módulo da velocidade nesse instante e o ângulo que faz com a horizontal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar as componentes da velocidade no instante do impacto com o solo, isto é e
naquele instante.
b) Calcular o módulo da velocidade nesse instante e o ângulo que essa velocidade faz com a horizontal.
a) Determinar as componentes da velocidade no instante do impacto com o solo, isto é
b) Calcular o módulo da velocidade nesse instante e o ângulo que essa velocidade faz com a horizontal.
As informações que vamos assumir (porque o enunciado não deu valores numéricos explícitos) são as usuais em lançamentos oblíquos:
- velocidade inicial
(módulo); - ângulo de lançamento em relação à horizontal
(positivo acima da horizontal); - altura inicial acima do solo
(pode ser zero se o lançamento é do solo); - aceleração da gravidade
(tomamos como a magnitude, direção para baixo).
Com essas variáveis podemos dar a resposta geral simbólica, que cobre todos os casos (lançamento do solo ou de uma altura). A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e equações de movimento (relembrando a teoria).
- Tomamos o eixo
horizontal (positivo no sentido do lançamento) e o eixo vertical (positivo para cima). - As componentes iniciais da velocidade são, pela decomposição trigonométrica:
Explicando rápido: decompor um vetor em horizontal e vertical é multiplicar pelo cosseno e seno do ângulo respectivamente, porque o cosseno dá a projeção sobre o eixo horizontal e o seno sobre o vertical.
- As equações do movimento (MRU para
e MRUV para ) são:
A velocidade em cada componente varia assim:
Passo 3
Encontrar o instante do impacto
.
O impacto com o solo ocorre quando . Logo resolvemos a equação quadrática
O impacto com o solo ocorre quando
Reescrevendo na forma padrão:
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para
com
,
,
, obtemos as raízes
Como queremos o tempo positivo de queda (o instante físico posterior ao lançamento), escolhemos o sinal “+” na raiz. Assim
Comentário intuitivo: o termo dentro da raiz vem da combinação entre energia vertical inicial e a contribuição da altura inicial; sempre aparece
.
Passo 4
Calcular
no impacto (parte a).
Como não há aceleração horizontal (desprezamos resistência do ar), a componente horizontal da velocidade não muda ao longo do voo. Portanto, no instante do impacto
Como não há aceleração horizontal (desprezamos resistência do ar), a componente horizontal da velocidade não muda ao longo do voo. Portanto, no instante do impacto
Isso é direto: mantenha a decomposição inicial; o eixo
tem movimento retilíneo uniforme.
Passo 5
Calcular
no impacto (parte a continuação).
Usamos e substituímos
. Fazendo a substituição e simplificando (mostro o truque algébrico útil na prova):
Usamos
Os termos
se cancelam, restando
Interpretação: a componente vertical na hora do impacto é negativa (para baixo) e seu módulo é a raiz mostrada. Esse resultado é uma forma compacta que frequentemente aparece em problemas: a velocidade vertical ao atingir o solo depende da componente vertical inicial e da altura inicial pela combinação dentro da raiz.
Passo 6
Calcular o módulo da velocidade no impacto (parte b).
O módulo da velocidade é
O módulo da velocidade é
Substituindo
e
, temos
Isso simplifica para
Comentário didático: observe que as componentes quadradas reconstituem
(pois
) e sobra o termo
. Esse resultado está em acordo com o princípio da conservação da energia (energia cinética ganhada devido à queda de altura
sob gravidade): a velocidade ao atingir o solo leva em conta a energia inicial mais a queda.
Passo 7
Calcular o ângulo que a velocidade faz com a horizontal no impacto (parte b).
Definimos o ângulo medido a partir da horizontal positiva, sendo positivo acima da horizontal e negativo abaixo. Então
Definimos o ângulo
Portanto
Se preferir dizer “o ângulo abaixo da horizontal em valor positivo” (muito usado em respostas), pode usar
onde
é o valor numérico do ângulo com a horizontal, indicando que a velocidade forma
abaixo da horizontal.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar (úteis na prova):
- Caso lançamento do solo (
), as fórmulas ficam mais simples:
e
ou seja, ao voltar ao mesmo nível a velocidade tem mesmo módulo
(simetria) e aponta com ângulo
(mesma inclinação abaixo da horizontal).
- Caso lançamento de altura
, use as fórmulas gerais mostradas acima.
Força prática na prova: memorize a forma elegante
elas aparecem muito e economizam cálculos.
Resposta
a)
b)