- Exercício 6 (forma paramétrica no tempo)
O movimento de um projéctil num plano vertical é descrito, num referencial cartesiano
, pelas seguintes equações paramétricas em função do tempo
(em segundos):
onde
e
estão em metros. Considere
e despreze a resistência do ar.
onde
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas do movimento de um projéctil no plano vertical em função do tempo
com
em metros,
e resistência do ar desprezível.
Como o enunciado só fornece o movimento em forma paramétrica, eu vou analisar os itens que normalmente se pedem em exercícios desse tipo — e que são úteis para a prova — e responder cada um passo a passo:
- posição inicial e velocidade inicial (vector e módulo);
- vetor velocidade
e seu módulo ; - vetor aceleração
; - velocidade inicial e ângulo de lançamento;
- instante e altura máximos (tempo em que a altura é máxima e valor de
); - tempo de voo (instante em que o projéctil atinge o solo
) e alcance horizontal; - equação da trajetória
.
A partir daqui começo a resolver cada item e a explicar a teoria necessária para entender cada passo.]
Passo 2
Derivadas: posição → velocidade.
Explicação rápida: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo; em coordenadas, derivamos cada componente separadamente.
Explicação rápida: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo; em coordenadas, derivamos cada componente separadamente.
Calculemos as componentes de
:
Derivando em relação a
:
Aqui usei que
e
porque
.
Agora o módulo (velocidade escalar) é
Explicação: o módulo de um vector
é
.
Passo 3
Aceleração: derivando a velocidade.
Explicação: aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Explicação: aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Interpretação física e didática: componente horizontal
porque não há força horizontal (sem resistência do ar); componente vertical constante
que é a aceleração da gravidade apontando para baixo.
Passo 4
Valores iniciais.
Posição inicial ( ):
Posição inicial (
Velocidade inicial:
Módulo da velocidade inicial (rapidamente: uso pitágoras):
Comentário amigável: viu como esse 3-4-5 aparece?
simplifica para
, e
, então a hipotenusa escala para
.
Passo 5
Ângulo de lançamento.
Explicação: o ângulo com a horizontal satisfaz
, onde
e
são as componentes iniciais da velocidade.
Explicação: o ângulo
Aqui
e
, então
Podemos relacionar com o triângulo 3–4–5: isso implica
e
. Em graus,
Passo 6
Tempo em que a altura é máxima e altura máxima.
Teoria curta: a componente vertical da velocidade é . No ponto mais alto a componente vertical da velocidade zera:
. Assim
Teoria curta: a componente vertical da velocidade é
Altura máxima: podemos usar
. Explicação: energia cinética vertical transformada em ganho de altura, ou integrar a equação do movimento vertical; é uma fórmula padrão:
Se preferir, daria o mesmo substituindo
em
.
Passo 7
Tempo de voo (instante em que
) e alcance horizontal.
Queremos a solução positiva de
Queremos a solução positiva de
Explico a resolução: é uma equação quadrática; aplicamos a fórmula de Bhaskara. Reescrevendo como
(multiplicando por
) temos discriminante
As raízes são
A raiz positiva (tempo após o lançamento) corresponde ao sinal
:
Alcance horizontal (posição
no instante de impacto):
Passo 8
Equação da trajetória
(eliminar o tempo).
Explicação: como , temos
. Substituindo em
:
Explicação: como
Simplificando
e escrevendo
, fica
Essa é a parábola que descreve a trajetória no plano
.
Passo 9
(Coordenada
do vértice — ponto de máxima altura — e verificação rápida)
O do vértice é
. Usando
,
O
Verificação: em
a parábola atinge
, consistente com os passos anteriores.
Resposta
Posição inicial:
m.
Velocidade inicial: m/s,
.
Vetor velocidade: .
Módulo da velocidade: .
Aceleração: .
Ângulo de lançamento: com
,
.
Tempo até a altura máxima: .
Altura máxima: .
Tempo de voo (até ):
.
Alcance horizontal: .
Equação da trajetória: .
Velocidade inicial:
Vetor velocidade:
Módulo da velocidade:
Aceleração:
Ângulo de lançamento:
Tempo até a altura máxima:
Altura máxima:
Tempo de voo (até
Alcance horizontal:
Equação da trajetória: