Estime o raio efetivo da molécula de sacarose em água a 25^circ C, sabendo que o seu coeficiente de difusão é 5,2 times 10^-10 m^2 s^-1 e que a viscosidade da água é 1,00 cP.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar o raio efetivo da molécula de sacarose em água a 25°C. Para isso, vamos usar o coeficiente de difusão dado, que é 5,2 times 10^-10 , m^2/s, e a viscosidade da água, que é 1,00 , cP. O conteúdo principal aqui envolve conceitos de difusão e viscosidade, e vamos precisar usar a equação de Stokes-Einstein para conectar essas grandezas e encontrar o raio da molécula.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a difusão. A difusão é o movimento espontâneo das moléculas de uma substância para distribuir-se uniformemente em um meio. O coeficiente de difusão D nos diz quão rápido isso acontece. Já a viscosidade eta representa a resistência de um líquido ao fluxo.
Para relacionar esses conceitos com o raio da molécula, usamos a equação de Stokes-Einstein:
D = kB cdot T6 pi eta r
Onde:
  • D é o coeficiente de difusão,
  • kB é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23 , J/K),
  • T é a temperatura em Kelvin,
  • eta é a viscosidade do meio,
  • r é o raio efetivo da molécula.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o raio r. Então, vamos rearranjar a equação de Stokes-Einstein para isolar r:
r = kB cdot T6 pi eta D

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na equação. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes.
  • Temperatura T = 25^circ C = 298 , K
  • Viscosidade eta = 1,00 , cP = 0,001 , Pa cdot s (já que 1 , cP = 0,001 , Pa cdot s)
  • Coeficiente de difusão D = 5,2 times 10^-10 , m^2/s
  • Constante de Boltzmann kB = 1,38 times 10^-23 , J/K
Substituindo na fórmula:
r = 1,38 times 10^-23 , J/K times 298 , K6 pi times 0,001 , Pa cdot s times 5,2 times 10^-10 , m^2/s
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
1,38 times 10^-23 times 298 = 4,1124 times 10^-21 , J
Denominador:
6 pi times 0,001 times 5,2 times 10^-10 approx 6 times 3,1416 times 0,001 times 5,2 times 10^-10 approx 9,8175 times 10^-12 , Pa cdot s cdot m^2/s
Agora, dividindo numerador pelo denominador:
r = 4,1124 times 10^-219,8175 times 10^-12 approx 4,19 times 10^-10 , m

Resposta

O raio efetivo da molécula de sacarose em água a 25°C é aproximadamente 4,19 times 10^-10 , metros ou 0,419 , nm.

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