Estime \sqrt{\pi} das duas formas a seguir e calcule os erros absoluto e relativo:
escrevendo \sqrt{\pi}=\sqrt{3}\left(\sqrt{1-\frac{\pi-3}{3}}\right), juntamente com uma aproximação linear para \sqrt{1-u} em torno de u=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede estimar \sqrt{\pi} usando a maneira sugerida e calcular erro absoluto e erro relativo.
  • O enunciado sugere escrever \sqrt{\pi} de forma a usar uma aproximação de \sqrt{1\pm u}. A identidade correta para manipular um pequeno desvio em torno de 3 é
\sqrt{\pi}=\sqrt{3}\,\sqrt{1+\frac{\pi-3}{3}}.
(Observação: aqui o termo interno é 1+\dfrac{\pi-3}{3}, porque \dfrac{\pi}{3}=1+\dfrac{\pi-3}{3}.)
  • Em seguida usar uma aproximação linear (aproximação de primeira ordem) para a função
g(u)=\sqrt{1+u}
em torno de u=0.
  • Vou tomar \pi\approx 3{,}141592653589793 quando for necessário obter números. A resolução continua nos passos seguintes.

Passo 2

Identificar e calcular o pequeno parâmetro u que entra na raiz:
Definimos
u=\frac{\pi-3}{3}.
Calculemos numericamente passo a passo:
\pi-3 \approx 0{,}14159265358979323846,
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u=\frac{\pi-3}{3}\approx 0{,}04719755119659774615.

Passo 3

Aproximação linear (tangente) para \sqrt{1+u} em u=0:
  • A função considerada é g(u)=\sqrt{1+u}=(1+u)^{1/2}.
  • Derivada:
g'(u)=\frac{1}{2\sqrt{1+u}}.
  • Em u=0 temos g(0)=1 e g'(0)=\dfrac{1}{2}.
  • A aproximação linear (primeira ordem, polinômio de Taylor de ordem 1) é
g(u)\approx g(0)+g'(0)\,u = 1+\frac{u}{2}.
Explicação didática rápida: a linha tangente à curva g(u) em u=0 é 1+\tfrac{u}{2}; para u pequeno essa linha é uma boa aproximação porque a derivada mede a inclinação local da função.

Passo 4

Aplicando a aproximação ao problema e obtendo a estimativa para \sqrt{\pi}:
Usando a identidade do Passo 1 e a aproximação do Passo 3,
\sqrt{\pi}=\sqrt{3}\,\sqrt{1+u}\approx \sqrt{3}\left(1+\frac{u}{2}\right).
Substituindo u=\dfrac{\pi-3}{3} obtemos a fórmula prática
\sqrt{\pi}\approx \sqrt{3}\left(1+\frac{\pi-3}{6}\right).
Agora valores numéricos:
u\approx 0{,}04719755119659774615,\qquad \frac{u}{2}\approx 0{,}02359877559829887307.
1+\frac{u}{2}\approx 1{,}02359877559829887307.
Sabendo que \sqrt{3}\approx 1{,}73205080756887729353, multiplicamos:
\sqrt{\pi}\approx 1{,}73205080756887729353\times 1{,}02359877559829887307 \approx 1{,}7729250291.
(Aqui foi feita multiplicação mantendo dígitos suficientes para obter precisão de algumas casas decimais.)

Passo 5

Avaliar o erro absoluto e o erro relativo da aproximação (comparando com o valor verdadeiro):
  • Valor “verdadeiro” (conhecido) de \sqrt{\pi}:
\sqrt{\pi}\approx 1{,}77245385090551602730.
  • Erro absoluto (aproximação menos valor verdadeiro):
\text{erro absoluto} \approx 1{,}7729250291 - 1{,}7724538509055160 \approx 0{,}0004711782.
  • Erro relativo:
\text{erro relativo}=\frac{\text{erro absoluto}}{\text{valor exato}}\approx \frac{0{,}0004711782}{1{,}7724538509}\approx 0{,}00026598\approx 2{,}659\times 10^{-4}.

Passo 6

Estimativa do erro via resto de Taylor (cota teórica):
  • A segunda derivada de g(u)=(1+u)^{1/2} é
g''(u)=-\frac{1}{4}(1+u)^{-3/2}.
  • Pelo teorema do resto de Taylor (forma de Lagrange) o termo de erro ao usar a linearização satisfaz, para algum \xi entre 0 e u,
R=\frac{g''(\xi)}{2}\,u^{2} = -\frac{1}{8}(1+\xi)^{-3/2}u^{2}.
  • Tomando módulo e usando (1+\xi)^{-3/2}\le 1 (pois u>0 e \xi\ge 0), obtemos a cota simples
|R|\le \frac{u^{2}}{8}.
  • Como o valor final é \sqrt{3}\,g(u), a cota para o erro absoluto em \sqrt{\pi} usando a linearização é
\text{erro absoluto}\le \sqrt{3}\,\frac{u^{2}}{8}.
  • Numericamente, com u\approx 0{,}04719755119659774615,
u^{2}\approx 0{,}0022273\quad\Rightarrow\quad \sqrt{3}\,\frac{u^{2}}{8}\approx 1{,}73205\cdot\frac{0{,}0022273}{8}\approx 0{,}000482.
Essa cota (aproximadamente 4{,}82\times 10^{-4}) é consistente com o erro real encontrado ( \approx 4{,}71\times 10^{-4}) e garante que o método está dentro do esperado.

Resposta

\sqrt{\pi}\approx 1{,}7729250291
Erro absoluto \approx 0{,}0004711782
Erro relativo \approx 0{,}00026598 (aprox. 2{,}659\times 10^{-4})

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