Estime
das duas formas a seguir e calcule os erros absoluto e relativo:
escrevendo
, juntamente com uma aproximação linear para
em torno de
escrevendo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede estimar
usando a maneira sugerida e calcular erro absoluto e erro relativo. - O enunciado sugere escrever
de forma a usar uma aproximação de . A identidade correta para manipular um pequeno desvio em torno de é
(Observação: aqui o termo interno é
, porque
.)
- Em seguida usar uma aproximação linear (aproximação de primeira ordem) para a função
em torno de
.
- Vou tomar
quando for necessário obter números. A resolução continua nos passos seguintes.
Passo 2
Identificar e calcular o pequeno parâmetro
que entra na raiz:
Definimos
Definimos
Calculemos numericamente passo a passo:
logo
Passo 3
Aproximação linear (tangente) para
em
:
- A função considerada é
. - Derivada:
- Em
temos e . - A aproximação linear (primeira ordem, polinômio de Taylor de ordem 1) é
Explicação didática rápida: a linha tangente à curva
em
é
; para
pequeno essa linha é uma boa aproximação porque a derivada mede a inclinação local da função.
Passo 4
Aplicando a aproximação ao problema e obtendo a estimativa para
:
Usando a identidade do Passo 1 e a aproximação do Passo 3,
Usando a identidade do Passo 1 e a aproximação do Passo 3,
Substituindo
obtemos a fórmula prática
Agora valores numéricos:
Sabendo que
, multiplicamos:
(Aqui foi feita multiplicação mantendo dígitos suficientes para obter precisão de algumas casas decimais.)
Passo 5
Avaliar o erro absoluto e o erro relativo da aproximação (comparando com o valor verdadeiro):
- Valor “verdadeiro” (conhecido) de
:
- Erro absoluto (aproximação menos valor verdadeiro):
- Erro relativo:
Passo 6
Estimativa do erro via resto de Taylor (cota teórica):
- A segunda derivada de
é
- Pelo teorema do resto de Taylor (forma de Lagrange) o termo de erro ao usar a linearização satisfaz, para algum
entre e ,
- Tomando módulo e usando
(pois e ), obtemos a cota simples
- Como o valor final é
, a cota para o erro absoluto em usando a linearização é
- Numericamente, com
,
Essa cota (aproximadamente
) é consistente com o erro real encontrado (
) e garante que o método está dentro do esperado.
Resposta
Erro absoluto
Erro relativo