Estime o tempo para que a temperatura no centro geométrico de uma maçã de 6 cm de diâmetro, imersa em um fluxo de água a
, alcance
. A temperatura uniforme inicial da maçã é de
. O coeficiente de transferência de calor por convecção da água para a superfície da maçã é de
. As propriedades da maçã são:
;
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma maçã com 6 cm de diâmetro que começa com uma temperatura uniforme de
. Ela é colocada em um fluxo de água a
, e queremos saber quanto tempo levará para que a temperatura no centro da maçã caia para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução térmica. Precisaremos das propriedades térmicas da maçã e da fórmula do tempo de resfriamento usando o modelo de capacidade calorífica lumped.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da maçã para encontrar sua massa. A maçã é esférica, então usamos a fórmula do volume de uma esfera:
Onde
é o raio da maçã. Como o diâmetro é 6 cm, o raio é 3 cm ou 0,03 m.
Passo 3
Calculando o volume:
Agora, usando a densidade (
), encontramos a massa:
Passo 4
Vamos verificar se podemos usar o modelo de capacidade calorífica lumped. Para isso, calculamos o número de Biot:
Onde
,
e
é o comprimento característico, que para uma esfera é o raio
. Então:
Como
, o modelo lumped não é apropriado. Precisamos usar um método mais detalhado.
Passo 5
Vamos considerar a transferência de calor por condução no interior da maçã. A equação de condução de calor para uma esfera é:
Onde
é a difusividade térmica. Calculando
:
Passo 6
Para simplificar, podemos usar a aproximação da solução de primeira ordem para o resfriamento no centro:
Onde
é uma constante que depende das propriedades da maçã e das condições de contorno. Estimando
com base em propriedades térmicas e geometria, podemos resolver para o tempo
.
Passo 7
Assumindo que a constante
está relacionada a
e
, e usando uma estimativa simplificada:
Onde
. Então:
Passo 8
Agora, substituímos os valores na equação de resfriamento:
Simplificando:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resposta
O tempo estimado para que a temperatura no centro da maçã alcance
é de aproximadamente 504 segundos.