Estime o valor de \sum_{n=1}^{\infty} 1 /\left(n^{2}+4\right) até 0,1 do seu valor exato.
Thomas 12ed exer 10.3.50
Sol. S_{10} \approx 0,57

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa de
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}
com erro no máximo 0{,}1. O conteúdo usado será o teste da integral para séries positivas e decrescentes, que nos dá um estimador do resto R_{N}=S-S_{N} a partir de uma integral imprópria.

Passo 2

Definimos f(x)=1/(x^{2}+4). Note que f é contínua, positiva e decrescente para x\ge1. Pelo teste da integral, o resto R_{N} satisfaz
R_{N} \;\le\; \int_{N}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+4}.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
\int_{N}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+4} = \left[\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\right]_{N}^{\infty} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{N}{2}\bigr).

Passo 4

Queremos R_{N}\le0{,}1, então basta escolher N tal que
\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{N}{2}\bigr)\le0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad \arctan\!\bigl(\tfrac{N}{2}\bigr)\ge\frac{\pi}{2}-0{,}2.
Tomando tangente de ambos os lados,
\frac{N}{2}\ge \cot(0{,}2)\approx4{,}933 \quad\Longrightarrow\quad N\ge9{,}866.
Logo, basta N=10.

Passo 5

Calculamos
S_{10} = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{n^{2}+4} \approx 0{,}2 + 0{,}125 + 0{,}07692 + 0{,}05 + 0{,}03448 + 0{,}025 + 0{,}01887 + 0{,}01471 + 0{,}01176 + 0{,}00962 \approx 0{,}56636.
Como o resto R_{10}\le0{,}1, temos
\bigl|S - S_{10}\bigr|\le0{,}1.

Resposta

Uma estimativa com erro menor que 0{,}1 é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4}\approx0{,}57.

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