Estime o valor de \sum_{n=1}^{\infty} 1 /\left(n^{2}+4\right) até 0,1 do seu valor exato.
Thomas 12ed exer 10.3.50
Sol. S_{10} \approx 0,57
Passo 1
O enunciado pede uma estimativa de
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}
com erro no máximo 0{,}1. O conteúdo usado será o teste da integral para séries positivas e decrescentes, que nos dá um estimador do resto R_{N}=S-S_{N} a partir de uma integral imprópria.
Passo 2
Definimos f(x)=1/(x^{2}+4). Note que f é contínua, positiva e decrescente para x\ge1. Pelo teste da integral, o resto R_{N} satisfaz