Utilize o teste da integral para determinar se as séries converges ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas. Justifique sua resposta
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-2 n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-2n}
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos: definimos uma função f(x) tal que f(n)=e^{-2n} e verificamos se f é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty). Em seguida avaliamos a integral imprópria \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos
f(x) = e^{-2x}.
Para aplicar o teste da integral, checamos:
  1. f(x)>0 para todo x\ge1, pois a exponencial é sempre positiva.
  2. f é contínua em [1,\infty) por ser composta de funções contínuas.
  3. f é decrescente em [1,\infty) porque
f'(x) = -2e^{-2x} < 0.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} e^{-2x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} e^{-2x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2b} + \tfrac{1}{2}e^{-2}\Bigr) = \tfrac{1}{2}e^{-2}.
Como esse valor é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge, então a série \sum_{n=1}^{\infty}f(n) também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{-2n} converge.

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