Utilize o teste da integral para determinar se as séries converges ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas. Justifique sua resposta
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos: definimos uma função
tal que
e verificamos se
é contínua, positiva e decrescente em
. Em seguida avaliamos a integral imprópria
.
Passo 2
Definimos
Para aplicar o teste da integral, checamos:
-
para todo , pois a exponencial é sempre positiva. -
é contínua em por ser composta de funções contínuas. -
é decrescente em porque
Passo 3
Calculamos a integral imprópria:
Como esse valor é finito, a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, se
converge, então a série
também converge.
Resposta
A série
converge.