Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique suas respostas (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de podem existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série.)
Existe algum valor de x para o qual \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\pi x} converge. Justifique

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\pi x}
e verificar se existe algum valor de x que torne essa série convergente. O conteúdo que vamos usar é o teste da condição necessária para convergência de séries, que diz:
“Se \sum a_n converge, então \lim_{n\to\infty}a_n=0.”

Passo 2

Identificamos o termo geral da série. Como não há dependência em n, temos para todo n:
a_n = \frac{1}{\pi x}.

Passo 3

Aplicamos o teste da condição necessária. Calculamos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi x} = \frac{1}{\pi x}.
Para que a série pudesse convergir, seria preciso
\frac{1}{\pi x} = 0.

Passo 4

A equação \tfrac{1}{\pi x}=0 não tem solução em x finito (nenhum número real faz o inverso ser zero). Logo o termo geral não tende a zero para nenhum valor de x\in\mathbb{R}.

Resposta

A série diverge para todo valor real de x. Não existe x que a torne convergente.

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