Estime os valores de V_{m x} e k_{m} da reação catalisada por uma enzima na qual foram obtidos os dados da tabela abaixo. Comente possíveis diferenças entre os métodos.
\mathbf{[ S ] ( M )} \mathbf{V}_{\mathbf{o}}(\boldsymbol{\mu} \mathbf{M} / \mathbf{m i n})
2,5 \times 10^{-6} 28
4 \times 10^{-6} 40
1 \times 10^{-5} 70
2 \times 10^{-5} 95
4 \times 10^{-5} 112
1 \times 10^{-4} 128
2 \times 10^{-3} 139
1 \times 10^{-2} 140
2 \times 10^{-1} 140
a) Pelo método de Lineaver-Burk

Passo 1

O enunciado pede: estimar os valores de V_{m x} e k_{m} para a reação enzimática a partir dos dados experimentais fornecidos, usando o método de Lineweaver–Burk. Dados relevantes (fornecidos na tabela):
\begin{array}{cc} \text{[S] (M)} & V_{o}\;(\mu\text{M}/\text{min})\\[4pt] 2,5\times10^{-6} & 28\\[2pt] 4\times10^{-6} & 40\\[2pt] 1\times10^{-5} & 70\\[2pt] 2\times10^{-5} & 95\\[2pt] 4\times10^{-5} & 112\\[2pt] 1\times10^{-4} & 128\\[2pt] 2\times10^{-3} & 139\\[2pt] 1\times10^{-2} & 140\\[2pt] 2\times10^{-1} & 140 \end{array}
Pergunta: estimar V_{m x} e k_{m} pelo método de Lineweaver–Burk e comentar possíveis diferenças entre métodos.]

Passo 2

Explicação didática do método de Lineweaver–Burk e do que faremos (sem resolver ainda). A equação de Michaelis–Menten é
V_o=\frac{V_{m x}[S]}{k_m+[S]}.
Linearizando com recíprocos obtemos a equação de Lineweaver–Burk:
\frac{1}{V_o}=\frac{k_m}{V_{m x}}\cdot\frac{1}{[S]}+\frac{1}{V_{m x}}.
Aqui:
  • \frac{1}{V_o} é a ordenada (variável dependente) na reta;
  • \frac{1}{[S]} é a abscissa (variável independente);
  • o coeficiente angular (declive) da reta é \dfrac{k_m}{V_{m x}};
  • a ordenada na origem é \dfrac{1}{V_{m x}}.
Plano de ação: calcular os pares \big(\tfrac{1}{[S]},\tfrac{1}{V_o}\big), ajustar uma reta por mínimos quadrados (regressão linear simples) para obter declive b e intercepto a, depois calcular
V_{m x}=\frac{1}{a},\qquad k_m=b\cdot V_{m x}.
Observação sobre unidades e consistência: os V_o estão em \mu\text{M}/\text{min}. Para facilitar a interpretação de k_m em \mu\text{M} vamos converter [S] de M para \mu\text{M} (multiplicar por 10^{6}). Assim \tfrac{1}{[S]} terá unidades \mu\text{M}^{-1} e \tfrac{1}{V_o} terá unidades \text{min}/\mu\text{M}. Com isso V_{m x} resultará em \mu\text{M}/\text{min} e k_m em \mu\text{M}.

Passo 3

Conversão dos dados e cálculo dos recíprocos. Convertemos [S] para \mu\text{M} ( [S]_{\mu\text{M}}=10^{6}\times [S]_{\text{M}}). Em seguida definimos x_i=\dfrac{1}{[S]_{\mu\text{M}}} e y_i=\dfrac{1}{V_{o}}. Para cada ponto:
\begin{array}{lll} \text{Ponto 1:}& [S]=2{,}5\\ \mu\text{M}, & x_1=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4,\quad y_1=\dfrac{1}{28}=0{,}0357142857,\\[4pt] \text{Ponto 2:}& [S]=4\\ \mu\text{M}, & x_2=\dfrac{1}{4}=0{,}25,\quad y_2=\dfrac{1}{40}=0{,}025,\\[4pt] \text{Ponto 3:}& [S]=10\\ \mu\text{M}, & x_3=\dfrac{1}{10}=0{,}1,\quad y_3=\dfrac{1}{70}=0{,}0142857143,\\[4pt] \text{Ponto 4:}& [S]=20\\ \mu\text{M}, & x_4=\dfrac{1}{20}=0{,}05,\quad y_4=\dfrac{1}{95}=0{,}0105263158,\\[4pt] \text{Ponto 5:}& [S]=40\\ \mu\text{M}, & x_5=\dfrac{1}{40}=0{,}025,\quad y_5=\dfrac{1}{112}=0{,}0089285714,\\[4pt] \text{Ponto 6:}& [S]=100\\ \mu\text{M}, & x_6=\dfrac{1}{100}=0{,}01,\quad y_6=\dfrac{1}{128}=0{,}0078125,\\[4pt] \text{Ponto 7:}& [S]=2000\\ \mu\text{M}, & x_7=\dfrac{1}{2000}=0{,}0005,\quad y_7=\dfrac{1}{139}=0{,}0071942446,\\[4pt] \text{Ponto 8:}& [S]=10000\\ \mu\text{M}, & x_8=\dfrac{1}{10000}=0{,}0001,\quad y_8=\dfrac{1}{140}=0{,}0071428571,\\[4pt] \text{Ponto 9:}& [S]=200000\\ \mu\text{M}, & x_9=\dfrac{1}{200000}=0{,}000005,\quad y_9=\dfrac{1}{140}=0{,}0071428571. \end{array}]

Passo 4

Cálculo das somas necessárias para regressão linear (mínimos quadrados). Seja n=9. Calculamos
\begin{aligned} \sum x_i&=0{,}835605,\\[4pt] \sum y_i&=0{,}123747346108076,\\[4pt] \sum x_i y_i&\approx0{,}0227962879117759,\\[4pt] \sum x_i^{2}&\approx0{,}235725260025. \end{aligned}
Estas somas resultam da soma dos valores x_i, y_i, x_i y_i e x_i^2 listados no passo anterior (mostrei os x_i,y_i; a multiplicação é direta ponto a ponto).]

Passo 5

Fórmulas da regressão linear simples (ajuste de y=a+bx por mínimos quadrados):
b=\frac{n\sum x_i y_i-(\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^{2}-(\sum x_i)^2}, \qquad a=\frac{\sum y_i-b\sum x_i}{n}.
Substituindo os números:
\begin{aligned} b&=\frac{9\cdot 0{,}0227962879117759-0{,}835605\cdot 0{,}123747346108076}{9\cdot 0{,}235725260025-(0{,}835605)^2}\\[6pt] &\approx\frac{0{,}205166591206-0{,}103403561}{2{,}121527340225-0{,}698235692025}\\[4pt] &\approx\frac{0{,}101763030206}{1{,}4232916482}\approx0{,}07150\\ (\text{min}). \end{aligned}
Em seguida
\begin{aligned} a&=\frac{0{,}123747346108076-0{,}07150\cdot 0{,}835605}{9}\\[4pt] &\approx\frac{0{,}123747346108076-0{,}05974576}{9}\approx\frac{0{,}064001586108076}{9}\approx0{,}0071112873\\ (\text{min}/\mu\text{M}). \end{aligned}
Observação: b corresponde a \dfrac{k_m}{V_{m x}} (unidade: min) e a corresponde a \dfrac{1}{V_{m x}} (unidade: min/ \muM).]

Passo 6

Cálculo de V_{m x} a partir do intercepto a:
V_{m x}=\frac{1}{a}\approx\frac{1}{0{,}0071112873}\approx140{,}63\\ \mu\text{M}/\text{min}.

Passo 7

Cálculo de k_m a partir de b e V_{m x}:
k_m=b\cdot V_{m x}\approx0{,}07150\times140{,}63\approx10{,}06\\ \mu\text{M}.
Convertendo k_m para molar (M):
k_m\approx10{,}06\\ \mu\text{M}=10{,}06\times10^{-6}\\ \text{M}\approx1{,}006\times10^{-5}\\ \text{M}.

Passo 8

Comentário sobre possíveis diferenças entre métodos (didático e prático):
  • O método de Lineweaver–Burk é uma linearização que transforma a curva hiperbólica em uma reta. É simples e permite obter V_{m x} e k_m por ajuste linear.
  • Desvantagem importante: a linearização dá muito peso aos pontos com [S] baixos (porque usa 1/[S] e 1/V_o), amplificando erros experimentais nesses pontos; isso tende a introduzir viés nas estimativas, especialmente em k_m.
  • Métodos alternativos: ajuste não-linear direto (fit direto da equação de Michaelis–Menten por mínimos quadrados não-lineares) é estatisticamente preferível — ele trata igualmente os resíduos e geralmente fornece estimativas mais precisas e com incertezas corretas. Outras linearizações (Hanes–Woolf, Eadie–Hofstee) também existem; cada uma tem padrões de ponderação de erros diferentes e, portanto, podem dar valores ligeiramente diferentes.
  • Conclusão prática: os valores obtidos por Lineweaver–Burk são úteis para uma estimativa rápida e para visualização, mas para publicação ou decisões quantitativas é melhor usar ajuste não-linear aos dados originais.

Resposta

V_{m x}\approx140{,}6\\ \mu\text{M}/\text{min}
k_{m}\approx10{,}06\\ \mu\text{M}\\ (\approx1{,}006\times10^{-5}\\ \text{M})

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