Questão 2) (4 pontos cada letra) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{c}t^{2} y^{\prime}+2 t y-y^{3}=0 \\\ y(1)=2, t>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
\begin{cases} t^{2} y^{\prime}+2 t y-y^{3}=0,\\[4pt] y(1)=2,\quad t>0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) Equação diferencial: }t^{2}y'+2ty-y^{3}=0.çã
\text{(ii) Condição inicial: }y(1)=2.çã
\text{(iii) Domínio indicado: }t>0.í
Objetivo: encontrar a função y(t) definida em um intervalo com t>0 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão de primeira ordem (dividindo por t^{2}, o que é legítimo porque t>0):
t^{2}y'+2ty-y^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad y'+\frac{2}{t}y-\frac{1}{t^{2}}y^{3}=0.
Reescrevendo de forma mais útil:
y'+\frac{2}{t}y=\frac{1}{t^{2}}y^{3}.
Aqui cada termo significa: \,y' é a derivada de y em relação a t, \frac{2}{t} e \frac{1}{t^{2}} são funções conhecidas de t.

Passo 3

Reconhecer o tipo de equação e o método apropriado. A equação tem a forma
y'+p(t)y=q(t) y^{n},
com
p(t)=\frac{2}{t},\qquad q(t)=\frac{1}{t^{2}},\qquad n=3.
Isto é uma equação de Bernoulli. A ideia da transformação de Bernoulli é trocar a incógnita y por uma nova função que torne a equação linear. A substituição padrão é
z=y^{\,1-n}=y^{-2}.
Vou explicar por quê: ao definir z=y^{1-n} obtemos uma relação entre z' e y' que elimina o termo não linear em y^{3} e transforma a equação em uma equação linear em z.

Passo 4

Calcular z' e transformar a equação. Como z=y^{-2}, temos
z'=-2y^{-3}y'.
Multiplicando a equação original (na forma padrão) por -2y^{-3} para usar essa expressão:
-2y^{-3}y' -2\cdot\frac{2}{t}y^{-2} = -2\cdot\frac{1}{t^{2}}.
Agora observe que -2y^{-3}y' = z' e -2\cdot\frac{2}{t}y^{-2} = -\frac{4}{t}z. Assim obtemos a equação linear em z:
z' - \frac{4}{t}z = -\frac{2}{t^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação linear para z. É uma equação do tipo
z' + a(t) z = b(t)
com a(t)=-\dfrac{4}{t} e b(t)=-\dfrac{2}{t^{2}}. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int a(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{t}\,dt\right)=\exp\!(-4\ln t)=t^{-4}.
Multiplicando a equação por \mu(t)=t^{-4} obtemos uma forma exata:
\frac{d}{dt}\big(t^{-4} z\big)= -2 t^{-6}.
Agora integramos ambos os lados em t:
t^{-4} z = \int -2 t^{-6}\,dt = -2\cdot\frac{t^{-5}}{-5} + C = \frac{2}{5}t^{-5}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolar z e voltar a y. Multiplicando por t^{4}:
z = C t^{4} + \frac{2}{5} t^{-1}.
Lembrando que z=y^{-2}, temos
y^{-2}=C t^{4}+\frac{2}{5}t^{-1}.
Logo
y(t)=\pm\bigg(C t^{4}+\frac{2}{5}t^{-1}\bigg)^{-\tfrac{1}{2}}.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=2 para encontrar C. Em t=1:
y^{-2}(1)=\frac{1}{4}=C+\frac{2}{5}.
Calculando C:
C=\frac{1}{4}-\frac{2}{5}=\frac{5-8}{20}=-\frac{3}{20}.

Passo 7

Substituir C e simplificar a expressão de y. Com C=-\dfrac{3}{20}:
y^{-2}=-\frac{3}{20}t^{4}+\frac{2}{5}t^{-1}.
Colocando em uma única fração (para simplificar a raiz depois):
y^{-2}=\frac{-3t^{5}+8}{20t}.
Invertendo e tomando raiz positiva (escolhemos o sinal + porque y(1)=2>0):
y(t)=\sqrt{\frac{20t}{\,8-3t^{5}\,}}.
Observação sobre domínio: a expressão exige 8-3t^{5}>0, isto é t<\big(\tfrac{8}{3}\big)^{1/5}. Como a condição inicial é em t=1 e 1<\big(\tfrac{8}{3}\big)^{1/5}, a solução encontrada é válida no intervalo
0<t<\bigg(\frac{8}{3}\bigg)^{1/5}.

Passo 8

Verificação rápida do valor inicial para checar consistência: em t=1,
y(1)=\sqrt{\frac{20\cdot 1}{8-3\cdot 1^{5}}}=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2,
como requerido. Portanto a solução satisfaz o PVI.

Resposta

y(t)=\sqrt{\frac{20t}{\,8-3t^{5}\,}},\quad 0<t<\bigg(\frac{8}{3}\bigg)^{1/5}.

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