Questão 2) (4 pontos cada letra) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Informações relevantes fornecidas:
Objetivo: encontrar a função
definida em um intervalo com
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Colocar a equação em forma padrão de primeira ordem (dividindo por
, o que é legítimo porque
):
Reescrevendo de forma mais útil:
Aqui cada termo significa:
é a derivada de
em relação a
,
e
são funções conhecidas de
.
Passo 3
Reconhecer o tipo de equação e o método apropriado. A equação tem a forma
com
Isto é uma equação de Bernoulli. A ideia da transformação de Bernoulli é trocar a incógnita
por uma nova função que torne a equação linear. A substituição padrão é
Vou explicar por quê: ao definir
obtemos uma relação entre
e
que elimina o termo não linear em
e transforma a equação em uma equação linear em
.
Passo 4
Calcular
e transformar a equação. Como
, temos
Multiplicando a equação original (na forma padrão) por
para usar essa expressão:
Agora observe que
e
. Assim obtemos a equação linear em
:
Passo 5
Resolver a equação linear para
. É uma equação do tipo
com
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos uma forma exata:
Agora integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolar
e voltar a
. Multiplicando por
:
Lembrando que
, temos
Logo
Agora aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Em
:
Calculando
:
Passo 7
Substituir
e simplificar a expressão de
. Com
:
Colocando em uma única fração (para simplificar a raiz depois):
Invertendo e tomando raiz positiva (escolhemos o sinal + porque
):
Observação sobre domínio: a expressão exige
, isto é
. Como a condição inicial é em
e
, a solução encontrada é válida no intervalo
Passo 8
Verificação rápida do valor inicial para checar consistência: em
,
como requerido. Portanto a solução satisfaz o PVI.