Numa estrada, uma curva com 300 m de raio não tem inclinação. Considere que o coeficiente de atrito entre os pneus e o asfalto seco é 0,75 , entre os pneus e o asfalto molhado é 0,50 e entre os pneus e o gelo é 0,25 . De- termine a velocidade máxima para se fazer a curva com segurança em
dias secos,

Passo 1

O enunciado dá uma curva plana (sem inclinação) com raio r=300\\ \text{m}. Foi informado o coeficiente de atrito entre pneus e asfalto seco como \mu=0,75. A pergunta é: determinar a velocidade máxima para fazer a curva com segurança em dias secos.
Informações relevantes:
  • r=300\\ \text{m} (raio da curva).
  • \mu=0,75 (coeficiente de atrito em dia seco).
  • A gravidade vale g=9,8\\ \text{m/s}^2 (usar esse valor padrão).
  • Quer-se a velocidade máxima v_{\max} que não faça o veículo derrapar.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (explicação didática e passo a passo):
  • Para um objeto fazendo uma curva circular com velocidade v e raio r, a aceleração centrípeta dirigida para o centro da curva vale
a_c=\frac{v^2}{r}.
Aqui a_c é a aceleração necessária para manter o movimento curvo, v é a velocidade (em \text{m/s}) e r é o raio (em \text{m}).
  • A força necessária para produzir essa aceleração sobre um veículo de massa m é a força centrípeta
F_c=m a_c = m\frac{v^2}{r}.
  • Em uma curva plana, a única força horizontal que pode prover a força centrípeta é a força de atrito entre pneus e pista. O valor máximo dessa força de atrito (estática) é
F_{\text{atrito,\,max}}=\mu N,
onde N é a força normal. Como a estrada é plana, N=m g. Logo
F_{\text{atrito,\,max}}=\mu m g.
  • Para que o veículo não derrape, a força de atrito disponível deve ser pelo menos a força centrípeta necessária:
m\frac{v^2}{r}\le \mu m g.
  • Podemos simplificar essa desigualdade: o termo m aparece dos dois lados e cancela-se (isso é útil: a velocidade máxima não depende da massa do veículo). Assim obtemos a condição para v:
\frac{v^2}{r}\le \mu g.
  • Isolando v para obter a velocidade máxima permissível:
v_{\max}=\sqrt{\mu g r}.
Explicando as variáveis: \mu é o coeficiente de atrito (adimensional), g é a aceleração da gravidade ( \text{m/s}^2), r é o raio da curva ( \text{m}), e v_{\max} resultará em \text{m/s}.

Passo 3

Aplicar a fórmula com os números dados (contas detalhadas, sem pular etapas):
  • Substituir \mu=0,75, g=9,8\\ \text{m/s}^2 e r=300\\ \text{m} na expressão de v_{\max}:
v_{\max}=\sqrt{0,75\cdot 9,8\cdot 300}.
  • Calcular o produto dentro da raiz em passos:
9,8\cdot 300 = 2940,
0,75\cdot 2940 = 2205.
  • Portanto
v_{\max}=\sqrt{2205}.
  • Para estimar a raiz quadrada manualmente: 47^2=2209, que é muito próximo de 2205. Logo
v_{\max}\approx 46,97\\ \text{m/s}\approx 47,0\\ \text{m/s}.

Passo 4

Converter para a unidade mais usual em estradas ( \text{km/h}) e interpretar:
  • A conversão é 1\\ \text{m/s}=3,6\\ \text{km/h}. Então
v_{\max}\\ (\text{km/h})=46,97\cdot 3,6 \approx 169,1\\ \text{km/h}.
  • Interpretação prática: em dias secos, na curva de raio 300\\ \text{m} com coeficiente de atrito 0,75, um veículo, teoricamente, pode manter até cerca de 47,0\\ \text{m/s} sem derrapar, o que equivale a aproximadamente 169,1\\ \text{km/h}. Na prova, vale lembrar que é comum reportar velocidade com 2 algarismos significativos; também, fatores reais (condição dos pneus, reações, segurança) recomendam velocidades muito menores do que o valor limite teórico.

Resposta

v_{\max}\approx 47,0\\ \text{m/s}\approx 169,1\\ \text{km/h}

Exercícios relacionados