Estratégia de investimento Um investidor considera investir $ 300000 em ações de três diferentes empresas. Os dividendos médios anuais são
General Motors (G) |
|
---|---|
PepsiCo, Inc. § |
|
Sara Lee (S) |
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A quantidade investida na PepsiCo, Inc. deve seguir a equação
.
Quando deveria ser investido em cada fundo de ações para obter dividendos máximos?
Quando deveria ser investido em cada fundo de ações para obter dividendos máximos?
Passo 1
O enunciado pede que a gente distribua $300.000 entre as ações da General Motors (G), PepsiCo § e Sara Lee (S), de modo a maximizar o dividendo anual total, sabendo que as taxas são 2,7% para G, 1,7% para P e 2,4% para S e impondo a restrição
. O conteúdo aqui é otimização com duas restrições (soma dos investimentos e restrição não linear), que vamos resolver usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos as variáveis:
são os valores investidos nas três ações. Nosso objetivo é maximizar a função dividendo
e temos as duas restrições:
Passo 3
Montamos o Lagrangeano
A ideia é igualar as derivadas parciais de
a zero para achar
.
Passo 4
Calculamos as derivadas em relação a
e
:
Subtraindo uma da outra eliminamos
e achamos
Em seguida, de qualquer uma delas, por exemplo
.
Passo 5
Agora a derivada em relação a
:
\Rightarrow\ 2\mu P=0.017-0.0255=-0.0085\ \Rightarrow\ P=\frac{-0.0085}{2\mu}=8500.
$$
Passo 6
Temos agora
. Usamos a soma dos investimentos:
e a restrição não linear
$$
3000(S-G)+P^2=0\Rightarrow S-G=-\frac{P^2}{3000}=-24083.333$$.
Passo 7
Resolvendo o sistema
obtemos
Passo 8
Os valores óptimos de investimento são então:
Resposta
Investir cerca de R$157.791,67 em General Motors, R$8.500,00 em PepsiCo e R$133.708,33 em Sara Lee para obter o dividendo anual máximo.