Estratégia de investimento Um investidor considera investir $ 300000 em ações de três diferentes empresas. Os dividendos médios anuais são
General Motors (G) 300000 em ações de três diferentes empresas Os dividendos médios anuais são | General Motors (G) |
PepsiCo, Inc. § | | :--- | :--- | | PepsiCo, Inc (P) |
Sara Lee (S) | | Sara Lee (S) |
A quantidade investida na PepsiCo, Inc. deve seguir a equação | A quantidade investida na PepsiCo, Inc deve seguir a equação .
Quando deveria ser investido em cada fundo de ações para obter dividendos máximos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente distribua $300.000 entre as ações da General Motors (G), PepsiCo § e Sara Lee (S), de modo a maximizar o dividendo anual total, sabendo que as taxas são 2,7% para G, 1,7% para P e 2,4% para S e impondo a restrição 300.000 entre as ações da General Motors (G), PepsiCo (P) e Sara Lee (S), de modo a maximizar o dividendo anual total, sabendo que as taxas são 2,7% para G, 1,7% para P e 2,4% para S e impondo a restrição . O conteúdo aqui é otimização com duas restrições (soma dos investimentos e restrição não linear), que vamos resolver usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos as variáveis: G,P,S são os valores investidos nas três ações. Nosso objetivo é maximizar a função dividendo
f(G,P,S)=0.027G+0.017P+0.024S
e temos as duas restrições:
g1(G,P,S)=G+P+S-300000=0,
g2(G,P,S)=3000S-3000G+P^2=0

Passo 3

Montamos o Lagrangeano
L=0.027G+0.017P+0.024S-lambda(G+P+S-300000)-mu(3000S-3000G+P^2)
A ideia é igualar as derivadas parciais de L a zero para achar G,P,S,lambda,mu.

Passo 4

Calculamos as derivadas em relação a G e S:
partial Lpartial G=0.027-lambda+3000mu=0,
partial Lpartial S=0.024-lambda-3000mu=0
Subtraindo uma da outra eliminamos lambda e achamos
0.027+3000mu=0.024-3000mu Rightarrow 6000mu=-0.003 Rightarrow mu=-5times10^-7
Em seguida, de qualquer uma delas, por exemplo lambda=0.027+3000mu=0.0255.

Passo 5

Agora a derivada em relação a P:
partial Lpartial P=0.017-lambda-2mu P=0 $$
\Rightarrow\ 2\mu P=0.017-0.0255=-0.0085\ \Rightarrow\ P=\frac{-0.0085}{2\mu}=8500.
$$

Passo 6

Temos agora P=8500. Usamos a soma dos investimentos:
G+S=300000-8500=291500
e a restrição não linear
$$
3000(S-G)+P^2=0\Rightarrow S-G=-\frac{P^2}{3000}=-24083.333$$.

Passo 7

Resolvendo o sistema
G+S=291500, G-S=24083.333
obtemos
G=157791.667,
S=133708.333

Passo 8

Os valores óptimos de investimento são então:
Gapprox157.791,67, P=8500, Sapprox133.708,33

Resposta

Investir cerca de R$157.791,67 em General Motors, R$8.500,00 em PepsiCo e R$133.708,33 em Sara Lee para obter o dividendo anual máximo.

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