Um motociclista movendo-se com uma velocidade de 0,8 \mathrm{c} passa por um observador parado na calçada.
A luz que sai do farol da moto tem, para o motociclista, \mathrm{A}=590 \mathrm{~nm}. Se o observador parado estivesse de frente para a moto em movimento, ele veria alguma luz visível saindo do farol? (A do visível está entre 400 e 700 nm ). (justifique sua resposta)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
Dados fornecidos:
\;v=0{,}8\,c (velocidade da moto em relação ao observador),
\;\lambda_{\text{emit}}=590\\ \mathrm{nm} (comprimento de onda da luz medido no referencial do motociclista),
intervalo do visível: \;400\\ \mathrm{nm} a \;700\\ \mathrm{nm}.
Pergunta:
Se o observador parado estiver de frente para a moto (ou seja, a moto se aproxima do observador), ele verá alguma luz visível saindo do farol? Justificar a resposta.

Passo 2

Qual é a física envolvida (intuição antes de fórmulas):
Quando uma fonte de luz se aproxima do observador, as cristas das ondas chegam com maior frequência — isso chama-se efeito Doppler e, para luz a velocidades próximas de c, deve-se usar a versão relativística. O efeito faz a frequência observada aumentar (blueshift) e, consequentemente, o comprimento de onda observado diminuir. Precisamos calcular o comprimento de onda observado e ver se ele fica dentro de 400\text{–}700\\ \mathrm{nm}.

Passo 3

Fórmula relativística (explicação e origem simples):
Seja \nu_{\text{emit}} a frequência emitida e \nu_{\text{obs}} a frequência observada. Para uma fonte que se aproxima com velocidade v ao longo da linha de visada, a relação relativística é
\nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{emit}}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},
onde \beta=\dfrac{v}{c}.
Explicação curta de por que essa fórmula: o período observado é afetado por dilatação temporal (fator \gamma) e pelo fato das cristas estarem “encurtadas” pelo movimento relativo; combinando esses efeitos obtém-se a fórmula acima. Aqui \nu é frequência (número de ondas por segundo), \beta é a razão entre a velocidade relativa e a velocidade da luz.

Passo 4

Passagem para comprimentos de onda:
Como \lambda=c/\nu, invertemos a relação de frequências para obter o comprimento de onda observado \lambda_{\text{obs}}:
\lambda_{\text{obs}}=\lambda_{\text{emit}}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
Nesta fórmula \lambda_{\text{emit}} é o comprimento de onda medido no referencial do motociclista e \lambda_{\text{obs}} é o comprimento de onda medido pelo observador parado.

Passo 5

Aplicação numérica: calcular \beta e o fator de deslocamento.
Temos \beta=0{,}8. Então
\frac{1-\beta}{1+\beta}=\frac{1-0{,}8}{1+0{,}8}=\frac{0{,}2}{1{,}8}=\frac{1}{9}.
Portanto
\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda observado:
\lambda_{\text{obs}}=\lambda_{\text{emit}}\cdot\frac{1}{3}=590\\ \mathrm{nm}\cdot\frac{1}{3}=196{,}6\\ \mathrm{nm}\approx197\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação final e resposta à pergunta:
O intervalo visível é 400\text{–}700\\ \mathrm{nm}. O comprimento de onda observado \lambda_{\text{obs}}\approx197\\ \mathrm{nm} está bem abaixo de 400\\ \mathrm{nm}, ou seja, na faixa ultravioleta. Logo o observador não veria luz visível do farol; veria (se pudesse detectar) radiação ultravioleta.

Resposta

Não. O observador veria luz com comprimento de onda aproximadamente \;197\\ \mathrm{nm} (ultravioleta), portanto não visível.

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