O estresse relacionado ao trabalho representa uma importante preocupação de um grande número de pessoas que passam a ocupar posições gerenciais. É estimado que 80 \% dos gerentes de todas as empresas sejam vítimas do estresse relacionado ao trabalho.
Qual é a probabilidade de que, em uma amostra composta por 200 gerentes de empresas, exatamente 150 deles venham a ser vítimas do estresse relacionado ao trabalho?

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de um gerente ser vítima de estresse relacionado ao trabalho é de 80\%, ou seja, p=0{,}8. Selecionamos uma amostra de n=200 gerentes e queremos a probabilidade de exatamente 150 vítimas de estresse. O conteúdo é Distribuição Binomial, e vamos usar a fórmula que dá a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada um.

Passo 2

Modelamos o número X de gerentes estressados por uma variável aleatória binomial:
X \sim \mathrm{Binomial}(n=200,\;p=0{,}8).
A probabilidade de exatamente k=150 sucessos é
P(X = 150) = \binom{200}{150}\,p^{150}\,(1-p)^{200-150}.

Passo 3

Substituindo p=0{,}8 e 1-p=0{,}2, obtemos
P(X=150) = \binom{200}{150}\,(0{,}8)^{150}\,(0{,}2)^{50}.
Este valor pode ser calculado exatamente com software ou calculadora estatística.

Passo 4

Como os números são grandes, uma boa aproximação é usar a distribuição Normal como aproximação da Binomial, com
\mu = n\,p = 200 \times 0{,}8 = 160, \quad \sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)} = \sqrt{200 \times 0{,}8 \times 0{,}2}\approx 5{,}657.
Aplicamos a correção de continuidade para k=150:
P(X=150)\approx P\bigl(149{,}5 < Y < 150{,}5\bigr),
onde Y\sim N(160,\,5{,}657^2). Calculando os z-escores:
z_1 = \frac{149{,}5 - 160}{5{,}657}\approx -1{,}84, \quad z_2 = \frac{150{,}5 - 160}{5{,}657}\approx -1{,}68.
Então
P(X=150)\approx \Phi(-1{,}68) - \Phi(-1{,}84) \approx 0{,}0465 - 0{,}0329 = 0{,}0136.

Resposta

A probabilidade exata é
P(X=150) = \binom{200}{150}\,(0{,}8)^{150}\,(0{,}2)^{50},
que numericamente dá aproximadamente 0{,}0136 (ou 1{,}36\%).

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