De acordo com um artigo publicado no Yahoo.com em 19 de fevereiro de 2012, a média de salários dos atuários nos EUA é de US$98.620 por ano. Suponha que a distribuição atual correspondente aos salários anuais de todos os atuários nos EUA se dê aproximadamente nos moldes de uma distribuição normal, com uma média aritmética de US$ 98.620 e um desvio-padrão de US$18.000. Quanto teria que ganhar um atuário para que estivesse entre os 10 \% mais remunerados entre todos os atuários?

Passo 1

O enunciado diz que os salários anuais dos atuários nos EUA seguem aproximadamente uma distribuição normal com média \mu = 98\,620 e desvio-padrão \sigma = 18\,000. Queremos encontrar o valor de salário que corresponde ao ponto em que apenas 10\% dos atuários ganham mais, ou seja, o 90º percentil dessa normal. Para isso, usaremos a propriedade de que, se X\sim N(\mu,\sigma), então o percentil p é dado por
x_p \;=\;\mu + z_p\,\sigma
onde z_p é o quantil da normal padrão tal que P(Z\le z_p)=p.

Passo 2

Precisamos do quantil z_{0,90} da normal padrão. Pela tabela da normal ou calculadora estatística,
z_{0,90}\approx 1,2816.

Passo 3

Agora calculamos o 90º percentil dos salários:
x_{0,90} = 98\,620 + (1,2816)\times 18\,000 \approx 98\,620 + 23\,068{,}8 \approx 121\,688{,}8.

Resposta

Para estar entre os 10\% mais bem-remunerados, o atuário precisaria ganhar aproximadamente US$ 121689 por ano.

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