As especificações na embalagem das lâmpadas de reposição Sylvania CFL 65 W que consomem somente 16 W , afirmam que essas lâmpadas apresentam uma média de vida útil de 8000 horas. Suponha que a distribuição das vidas úteis de todas essas lâmpadas seja normal, com uma média aritmética de 8000 horas e um desvio-padrão de 400 horas. Faça com que \boldsymbol{x} represente a vida útil de uma dessas lâmpadas, aleatoriamente selecionada.
Encontre \boldsymbol{x} de maneira que somente 63 \% dessas lâmpadas apresentem uma vida útil menor do que esse valor.

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil X das lâmpadas segue uma distribuição normal com média \mu=8000 horas e desvio-padrão \sigma=400 horas. Queremos encontrar um valor x tal que
P(X < x) = 0,63.
O conteúdo aqui é o cálculo de quantil de uma normal.

Passo 2

Padronizamos X definindo
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
que segue Z\sim N(0,1). Então
P(X < x) = P\Bigl(Z < \frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr) = 0,63.
Chamando \dfrac{x - \mu}{\sigma} = z_{0}, temos \Phi(z_{0}) = 0,63.

Passo 3

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, o valor z_{0} que satisfaz
\Phi(z_{0}) = 0,63
é aproximadamente
z_{0} \approx 0{,}33.

Passo 4

Voltemos à variável X. Como
z_{0} = \frac{x - \mu}{\sigma},
temos
x = \mu + \sigma\,z_{0} = 8000 + 400 \times 0{,}33 = 8000 + 132 = 8132.

Resposta

x \approx 8132 horas.

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