O estresse relacionado ao trabalho representa uma importante preocupação de um grande número de pessoas que passam a ocupar posições gerenciais. É estimado que 80 \% dos gerentes de todas as empresas sejam vítimas do estresse relacionado ao trabalho.
Encontre a probabilidade de que, em uma amostra composta por 200 gerentes de empresas, pelo menos 170 deles venham a ser vítimas do estresse relacionado ao trabalho.

Passo 1

O enunciado diz que há uma proporção de p=0,8 de gerentes vítimas de estresse e queremos a probabilidade de que, em uma amostra de n=200, pelo menos 170 apresentem estresse. O conteúdo usado será a distribuição binomial e sua aproximação normal pelo Teorema Central do Limite, válida quando np e n(1-p) são maiores que 5.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de gerentes com estresse na amostra de n=200. Logo,
X\sim \text{Binomial}(n=200,\;p=0,8).
Verificamos np=200\cdot0,8=160 e n(1-p)=200\cdot0,2=40, ambos maiores que 5, então podemos usar a aproximação normal.

Passo 3

Pela aproximação normal, X é aproximada por
Y\sim N(\mu,\sigma^2),
com
\mu = np = 160, \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{200\cdot0,8\cdot0,2} = \sqrt{32}\approx5,657.

Passo 4

Queremos
P(X\ge170).
Aplicando correção de continuidade, usamos
P(X\ge170)\approx P\bigl(Y>169,5\bigr).
Padronizando:
Z = \frac{169,5 - 160}{5,657}\approx\frac{9,5}{5,657}\approx1,68,
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P(X\ge170)\approx P\bigl(Z\ge1,68\bigr)=1-\Phi(1,68).

Passo 5

Consultando a tabela da normal padrão, \Phi(1,68)\approx0,9535. Assim,
P(X\ge170)\approx1-0,9535=0,0465.

Resposta

A probabilidade de pelo menos 170 dos 200 gerentes serem vítimas de estresse é aproximadamente 0,0465.

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