Uma estrutura cilíndrica dielétrica muito longa (na qual o efeito das bordas é desprezível) de raio a, com densidade volumétrica uniforme de cargas igual a +\rho_{v} é concêntrica a uma camada cilíndrica condutora que apresenta carga total nula, de raio interno b(b>a) e raio externo c. Calcule o campo elétrico nas regiões:
b<r<c

Passo 1

O enunciado descreve uma configuração cilíndrica coaxial com simetria radial:
– Um dielétrico sólido de raio a e densidade volumétrica de carga \rho_{v}>0.
– Um invólucro condutor concêntrico de raio interno b e raio externo c, com carga total nula.
Queremos o campo elétrico na região intermediária b<r<c.
O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss em coordenadas cilíndricas e as propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material de um condutor perfeito é nulo. Isso decorre do fato de que cargas livres se redistribuem até anular qualquer campo interno. Portanto, já sabemos qualitativamente que
\mathbf{E}(r)=\mathbf{0} \quad\text{para }b<r<c.
Mas vamos confirmar isso usando a Lei de Gauss.

Passo 3

Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r tal que b<r<c e comprimento L. Pela simetria, \mathbf{E} será radial e constante em módulo sobre essa superfície.

Passo 4

Calculamos a carga total envolvida por essa superfície:
  1. Carga do dielétrico interno (até r=a):
Q_{\text{diel}}=\rho_{v}\,\pi a^{2}L.
  1. Carga induzida na face interna do condutor (em r=b) deve ser -Q_{\text{diel}}, pois o condutor é neutro e toda carga livre se redistribui nas superfícies.
    Logo,
Q_{\text{enc}}=Q_{\text{diel}} + \bigl(-Q_{\text{diel}}\bigr)=0.
Da Lei de Gauss,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}} \;\Longrightarrow\; E(r)\,(2\pi rL) =\frac{0}{\varepsilon_{0}} \;\Longrightarrow\; E(r)=0.

Resposta

Para b<r<c, o campo elétrico é
\mathbf{E}(r)=\mathbf{0}.

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