Uma estrutura cilíndrica dielétrica muito longa (na qual o efeito das bordas é desprezível) de raio a, com densidade volumétrica uniforme de cargas igual a +\rho_{v} é concêntrica a uma camada cilíndrica condutora que apresenta carga total nula, de raio interno b(b>a) e raio externo c. Calcule o campo elétrico nas regiões:
a<r<b

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro dielétrico muito longo de raio a com densidade volumétrica de carga uniforme +\rho_{v}, envolto por uma casca metálica concêntrica de raios interno b e externo c cuja carga total é nula. Como queremos o campo elétrico para a<r<b e a configuração é infinita e cilíndrica, usaremos a Lei de Gauss em simetria cilíndrica.

Passo 2

Tomamos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial de raio genérico r tal que a<r<b e comprimento L. Por simetria, o campo elétrico \mathbf{E}(r) é radial e de mesmo módulo em toda a superfície lateral. A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}\,.
Aqui a única contribuição à integral vem da superfície lateral, pois nas bases o vetor área é paralelo ao eixo.

Passo 3

Para a<r<b a superfície gaussiana envolve toda a carga do cilindro dielétrico de raio a. O volume desse cilindro de comprimento L é \pi a^2 L, logo a carga interna é
Q_{\text{int}} = \rho_{v}\,\pi a^2 L.

Passo 4

A integral de fluxo na superfície lateral vale
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(2\pi r L).
Aplicando Gauss,
E(r)\,(2\pi r L) \;=\;\frac{\rho_{v}\,\pi a^2 L}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\rho_{v}\,\pi a^2 L}{2\pi r L\,\varepsilon_{0}} = \frac{\rho_{v}a^2}{2\varepsilon_{0}\,r}.
O sinal positivo indica campo apontando para fora.

Resposta

\mathbf{E}(r) = \frac{\rho_{v}\,a^2}{2\varepsilon_{0}\,r}\,\hat{r},\quad a<r<b.

Exercícios relacionados