Um dielétrico com uma permissividade \varepsilon e espessura d está carregado com uma densidade volumétrica de carga desconhecida. A intensidade de campo elétrico é conhecida no interior do dielétrico e é dada por \vec{E}=+\frac{y^{2}}{2} \vec{a}_{y}, para \frac{d}{2}>y>0, e \vec{E}=-\frac{y^{2}}{2} \vec{a}_{y}, para -\frac{d}{2}<y<0. O dielétrico possui as outras dimensões infinitas.
a) Qual a densidade de carga dentro do dielétrico?
b) Qual a intensidade de campo elétrico fora do dielétrico?

Passo 1

O enunciado descreve um bloco dielétrico de permittividade \varepsilon\) e espessura \(d\) (infinito em \(x\) e \(z\)), carregado com densidade volumétrica de carga \(\rho(y)\) desconhecida. No interior do dielétrico o campo é dado por \[\vec{E}(y)= \begin{cases} +\dfrac{y^{2}}{2}\,\vec{a}_{y},&0<y<\dfrac{d}{2},\\[6pt] -\dfrac{y^{2}}{2}\,\vec{a}_{y},&-\dfrac{d}{2}<y<0. \end{cases}
Queremos:
a) \rho(y)\] dentro do dielétrico, usando a lei de Gauss diferencial \(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho com \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}.
b) \mathbf{E} fora do dielétrico, sabendo que nessa região não há carga volumétrica e que a componente normal de \mathbf{D} é contínua na interface.]

Passo 2

Usando \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e a forma diferencial de Gauss para cargas volumétricas,
\rho(y)=\nabla\cdot\mathbf{D}=\varepsilon\,\nabla\cdot\mathbf{E}.
Como \mathbf{E} só tem componente y,
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{dE_{y}}{dy}.

Passo 3

Calculemos \tfrac{dE_{y}}{dy} em cada região:
Para 0<y<\tfrac{d}{2}, E_{y}=+\tfrac{y^{2}}{2}
\frac{dE_{y}}{dy}=y.
Para -\tfrac{d}{2}<y<0, E_{y}=-\tfrac{y^{2}}{2}
\frac{dE_{y}}{dy}=-y.
Logo
\rho(y)= \begin{cases} \varepsilon\,y,&0<y<\dfrac{d}{2},\\[4pt] -\varepsilon\,y,&-\dfrac{d}{2}<y<0. \end{cases}]

Passo 4

Fora do dielétrico não há carga volumétrica, então \nabla\cdot\mathbf{E}=0 e o campo é uniforme em cada lado. Para encontrar esse valor usamos a continuidade da componente normal de \mathbf{D} na interface y=\pm\tfrac{d}{2}, pois não há carga de superfície livre ali:
D_{y,\text{fora}}=D_{y,\text{dentro}} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_{0}\,E_{y,\text{fora}}=\varepsilon \,E_{y,\text{dentro}}.

Passo 5

No interior, em y=\tfrac{d}{2},
E_{y,\text{dentro}}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^{2}=\frac{d^{2}}{8}.
Logo, para y>\tfrac{d}{2},
E_{y,\text{fora}} =\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}\;\frac{d^{2}}{8},
e para y<-\tfrac{d}{2} o sinal inverte-se:
E_{y,\text{fora}} =-\,\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}\;\frac{d^{2}}{8}.

Resposta

a)
\rho(y)= \begin{cases} \varepsilon\,y,&0<y<\dfrac{d}{2},\\[4pt] -\varepsilon\,y,&-\dfrac{d}{2}<y<0. \end{cases}
b)
\vec{E}_{\text{fora}}(y)= \begin{cases} +\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}\;\dfrac{d^{2}}{8}\,\vec{a}_{y},&y>\dfrac{d}{2},\\[6pt] -\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}\;\dfrac{d^{2}}{8}\,\vec{a}_{y},&y<-\dfrac{d}{2}. \end{cases}]

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