Um dielétrico com uma permissividade \varepsilon e espessura d está carregado com uma densidade volumétrica de carga desconhecida. A intensidade de campo elétrico é conhecida no interior do dielétrico e é dada por \vec{E}=+\frac{y^{2}}{2} \vec{a}_{y}, para \frac{d}{2}>y>0, e \vec{E}=-\frac{y^{2}}{2} \vec{a}_{y}, para -\frac{d}{2}<y<0. O dielétrico possui as outras dimensões infinitas.
a) Qual a densidade de carga dentro do dielétrico?
b) Qual a intensidade de campo elétrico fora do dielétrico?
Passo 1
O enunciado descreve um bloco dielétrico de permittividade \varepsilon\) e espessura \(d\) (infinito em \(x\) e \(z\)), carregado com densidade volumétrica de carga \(\rho(y)\) desconhecida. No interior do dielétrico o campo é dado por
\[\vec{E}(y)= \begin{cases} +\dfrac{y^{2}}{2}\,\vec{a}_{y},&0<y<\dfrac{d}{2},\\[6pt] -\dfrac{y^{2}}{2}\,\vec{a}_{y},&-\dfrac{d}{2}<y<0. \end{cases}
Queremos:
a) \rho(y)\] dentro do dielétrico, usando a lei de Gauss diferencial \(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho com \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}.
b) \mathbf{E} fora do dielétrico, sabendo que nessa região não há carga volumétrica e que a componente normal de \mathbf{D} é contínua na interface.]
Passo 2
Usando \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e a forma diferencial de Gauss para cargas volumétricas,
Fora do dielétrico não há carga volumétrica, então \nabla\cdot\mathbf{E}=0 e o campo é uniforme em cada lado. Para encontrar esse valor usamos a continuidade da componente normal de \mathbf{D} na interface y=\pm\tfrac{d}{2}, pois não há carga de superfície livre ali: