A estrutura metálica de uma caixa retangular tem uma base quadrada. As hastes horizontais na base são fabricadas com um metal, e as hastes verticais são feitas com um metal diferente. Se as hastes horizontais se dilatarem a uma taxa de 0,001 cm / h e as hastes verticais se dilatarem a uma
taxa de 0,002 cm / h, a qual taxa o volume da caixa se dilatará quando a base tiver uma área de 9 cm^2 e o volume for de 180 cm^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa metálica com base quadrada. A gente precisa descobrir como o volume dessa caixa está aumentando ao longo do tempo, considerando que as hastes horizontais e verticais estão se dilatando a taxas diferentes. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente de derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões da caixa. Sabemos que a base é quadrada e tem uma área de 9 cm². Para achar o lado da base, vamos tirar a raiz quadrada:
s = raiz9 = 3 cm

Passo 3

Agora, vamos descobrir a altura da caixa. O volume V = s^2 times h da caixa é dado por:
180 = 3^2 times h 180 = 9h h = 1809 = 20 cm
Sabemos que cm³ e cm. Vamos isolar :

Passo 4

A próxima etapa é entender como as taxas de dilatação das hastes horizontais e verticais afetam o volume. As hastes horizontais (os lados da base) se dilatam a uma taxa de dVdt = 2s dsdt times h + s^2 dhdt , e as verticais (a altura) a .
Vamos chamar a taxa de variação do volume de . Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Explicando:
  • representa a variação do volume devido às mudanças na base.
  • representa a variação do volume devido à mudança na altura.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
dVdt = 2 times 3 times 0,001 times 20 + 3^2 times 0,002
Calculando cada parte:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:

Resposta

Somando os dois termos, a taxa de dilatação do volume da caixa é:
dVdt = 0,12 + 0,018 = 0,138 , cm^3/h
Então, o volume da caixa está aumentando a uma taxa de 0,138 cm³ por hora.

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