A estrutura metálica de uma caixa retangular tem uma base quadrada. As hastes horizontais na base são fabricadas com um metal, e as hastes verticais são feitas com um metal diferente. Se as hastes horizontais se dilatarem a uma taxa de
e as hastes verticais se dilatarem a uma
taxa de
, a qual taxa o volume da caixa se dilatará quando a base tiver uma área de 9
e o volume for de
?
taxa de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa metálica com base quadrada. A gente precisa descobrir como o volume dessa caixa está aumentando ao longo do tempo, considerando que as hastes horizontais e verticais estão se dilatando a taxas diferentes. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente de derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões da caixa. Sabemos que a base é quadrada e tem uma área de 9 cm². Para achar o lado da base, vamos tirar a raiz quadrada:
Passo 3
Agora, vamos descobrir a altura da caixa. O volume
da caixa é dado por:
Sabemos que
cm³ e
cm. Vamos isolar
:
Passo 4
A próxima etapa é entender como as taxas de dilatação das hastes horizontais e verticais afetam o volume. As hastes horizontais (os lados da base) se dilatam a uma taxa de
, e as verticais (a altura) a
.
Vamos chamar a taxa de variação do volume de
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Explicando:
-
representa a variação do volume devido às mudanças na base. -
representa a variação do volume devido à mudança na altura.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Calculando cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Resposta
Somando os dois termos, a taxa de dilatação do volume da caixa é:
Então, o volume da caixa está aumentando a uma taxa de 0,138 cm³ por hora.