Sejam b um número real e f, g: R R funções definidas por:
f(x)=2 x+b, g(x)=x^2
Se a função g(f(x)) satisfaz:
g(f(x))=4 x^2-12 x+9, para todo x in R
então b pertence ao intervalo?

Passo 1

Temos as funções f(x)=2x+b e g(x)=x^2. Precisamos achar o valor de b tal que g(f(x))=4x^2-12x+9 para todo x. O conteúdo envolve composição de funções e comparação de polinômios.

Passo 2

Calculamos a composição de g com f:
g(f(x))=(2x+b)^2=4x^2+4bx+b^2

Passo 3

Comparamos esse resultado com o polinômio dado 4x^2-12x+9. Igualando coeficientes de x e do termo constante, temos
4b=-12
e
b^2=9

Passo 4

Resolvendo o sistema: de 4b=-12 vem b=-3. Verificando o termo constante, (-3)^2=9, então essa escolha satisfaz ambas as condições.

Resposta

b = -3

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