Seja
um número real e considere a função
definida como:
Vale que
é contínua se, e somente se,
é igual a?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ definida para todo $ x $ no intervalo
. Essa função muda de forma quando $ x $ é igual a 1. A questão quer saber qual o valor de $ L $ faz a função $ f $ ser contínua nesse ponto, ou seja, sem “quebras”. Para resolver isso, a gente precisa entender o que é continuidade e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em $ x = 1 $. Isso quer dizer que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 deve ser igual ao valor de $ f(1) $, que é $ L $.
Matematicamente, isso é:
Então, precisamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Se tentarmos substituir $ x = 1 $ diretamente, teremos:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos simplificar a expressão. A gente faz isso multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de $ \sqrt{x+3} - 2 $ é $ \sqrt{x+3} + 2 $.
Multiplicando:
Agora, podemos cancelar $ x - 1 $ no numerador e no denominador:
Passo 4
Agora que simplificamos, vamos calcular o limite dessa nova expressão quando $ x $ se aproxima de 1:
Então, o limite é $ \frac{1}{4} $.
Resposta
Para a função $ f $ ser contínua em $ x = 1 $, o valor de $ L $ deve ser igual a $ \dfrac{1}{4} $.