Seja L um número real e considere a função f:[-3,+infty[ R definida como:
f(x)= raizx+3-2x-1, & se x neq 1 L, & se x=1
Vale que f é contínua se, e somente se, L é igual a?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ definida para todo $ x $ no intervalo f . Essa função muda de forma quando $ x $ é igual a 1. A questão quer saber qual o valor de $ L $ faz a função $ f $ ser contínua nesse ponto, ou seja, sem “quebras”. Para resolver isso, a gente precisa entender o que é continuidade e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em $ x = 1 $. Isso quer dizer que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 deve ser igual ao valor de $ f(1) $, que é $ L $.
Matematicamente, isso é:
x = 1
Então, precisamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limx to 1 raizx+3 - 2x - 1
Se tentarmos substituir $ x = 1 $ diretamente, teremos:
x = 1
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos simplificar a expressão. A gente faz isso multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de $ \sqrt{x+3} - 2 $ é $ \sqrt{x+3} + 2 $.
Multiplicando:
raiz1+3 - 21 - 1 = 2 - 20 = 00
Agora, podemos cancelar $ x - 1 $ no numerador e no denominador:
raizx+3 - 2

Passo 4

Agora que simplificamos, vamos calcular o limite dessa nova expressão quando $ x $ se aproxima de 1:
x
Então, o limite é $ \frac{1}{4} $.

Resposta

Para a função $ f $ ser contínua em $ x = 1 $, o valor de $ L $ deve ser igual a $ \dfrac{1}{4} $.

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