Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de área total igual a 50 cm^wed>= 2, de modo que o volume seja máximo.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um cilindro circular reto que precisa ter uma área total de . A missão é descobrir quais devem ser o raio e a altura desse cilindro para que o volume seja o maior possível. Vamos usar conceitos de geometria e otimização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que a gente precisa:
  • Área total do cilindro:
    • Aqui, é o raio e é a altura.
    • Os dois primeiros termos representam as áreas das duas bases circulares, e o último termo é a área lateral.
  • Volume do cilindro:

Passo 3

Como a área total 2pi r^2 + 2pi r h = 50 é igual a , a gente pode escrever:
Vamos simplificar essa equação para expressar a altura em função do raio .

Passo 4

Dividindo todos os termos por h = 50 - 2pi r^22pi r = 502pi r - r para isolar h = 25pi r - r :
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de V = pi r^2 ( 25pi r - r ) = 25r - pi r^3 na fórmula do volume V(r) = 25r - pi r^3 :
Então, a função de volume em termos de é:

Passo 6

Para encontrar o valor de dVdr = 25 - 3pi r^2 = 0 que maximiza o volume, vamos derivar 3pi r^2 = 25 implies r^2 = 253pi implies r = raiz253pi = 5raiz3pi em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos h = 25pi r - r = 25pi cdot 5raiz3pi - 5raiz3pi = 25 raiz3pi5pi - 5raiz3pi , vamos encontrar h = 5 raiz3raizpi - 5raiz3pi = 10raiz3pi usando a expressão que achamos no passo 4:
Simplificando:

Resposta

As dimensões que maximizam o volume do cilindro são:
  • Raio:
  • Altura:

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