Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de área total igual a
, de modo que o volume seja máximo.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um cilindro circular reto que precisa ter uma área total de
. A missão é descobrir quais devem ser o raio e a altura desse cilindro para que o volume seja o maior possível. Vamos usar conceitos de geometria e otimização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que a gente precisa:
- Área total do cilindro:
- Aqui,
é o raio e é a altura. - Os dois primeiros termos representam as áreas das duas bases circulares, e o último termo é a área lateral.
- Aqui,
- Volume do cilindro:
Passo 3
Como a área total
é igual a
, a gente pode escrever:
Vamos simplificar essa equação para expressar a altura
em função do raio
.
Passo 4
Dividindo todos os termos por
para isolar
:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de
na fórmula do volume
:
Então, a função de volume em termos de
é:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a expressão que achamos no passo 4:
Simplificando:
Resposta
As dimensões que maximizam o volume do cilindro são:
- Raio:
- Altura: