Estuda convergência das séries de termos positivos:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo principal aqui é o teste da integral para séries de termos positivos: associamos à série uma função contínua, positiva e decrescente e comparamos a soma com a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Primeiro notamos que em
o termo
gera indeterminação, então a série só faz sentido para
. Definimos a função
Devemos verificar que
é contínua, positiva e decrescente em
.
- É contínua e positiva porque
implica . - Para ver que é decrescente, calculamos
Passo 3
Pelo teste da integral, a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
for convergente.
Passo 4
Calculamos a integral
Fazemos a mudança de variável
, daí
. Quando
,
; quando
,
. Logo
que é finito.
Passo 5
Como a integral imprópria converge, pelo teste da integral a série
converge. Logo, descartando o primeiro termo indefinido, concluímos que a série original é convergente.
Resposta
A série
converge.