Estuda convergência das séries de termos positivos:
sumn=1^infty 3n(ln (n))^2,

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty3n(ln(n))^2
O conteúdo principal aqui é o teste da integral para séries de termos positivos: associamos à série uma função contínua, positiva e decrescente e comparamos a soma com a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Primeiro notamos que em n=1 o termo ln(1)=0 gera indeterminação, então a série só faz sentido para n>=2. Definimos a função
f(x)=3x(ln(x))^2, x>=2
Devemos verificar que f(x) é contínua, positiva e decrescente em [2,infty).
  1. É contínua e positiva porque x>1 implica ln(x)>0.
  2. Para ver que é decrescente, calculamos
f'(x) =-3l(1+2ln(x)r)x^2(ln(x))^3<0para x>1

Passo 3

Pelo teste da integral, a série
sumn=2^inftyf(n)
converge se, e somente se, a integral imprópria
integral2^inftyf(x),dx
for convergente.

Passo 4

Calculamos a integral
integral2^infty3x(ln(x))^2,dx
Fazemos a mudança de variável u=ln(x), daí du=dxx. Quando x=2, u=ln(2); quando xtoinfty, utoinfty. Logo
integral2^infty3x(ln(x))^2,dx =integralln(2)^infty3u^2,du =3gl[-1ugr]ln(2)^infty =3ln(2),
que é finito.

Passo 5

Como a integral imprópria converge, pelo teste da integral a série
sumn=2^infty3n(ln(n))^2
converge. Logo, descartando o primeiro termo indefinido, concluímos que a série original é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty3n(ln(n))^2 converge.

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