Q32 Sabendo que sen x cdot cos x=a, o valor de sen^8 x+cos ^8 x é igual a:
(A) 1
(B) 1-4 a^4
(C) 1-4 a^2+6 a^4
(D) 1+4 a^2+2 a^4
(E) 1-4 a^2+2 a^4

Passo 1

O enunciado dá que sin xcdotcos x=a e pede o valor de sin^8x+cos^8x.
O conteúdo é manipular potências de soma de quadrados usando identidades algébricas e reduzir tudo em função de a.

Passo 2

Usamos a identidade para somas de quadrados de potências:
sin^8x+cos^8x = (sin^4x)^2+(cos^4x)^2 = (sin^4x+cos^4x)^2 - 2,sin^4xcos^4x

Passo 3

Agora expressamos sin^4x+cos^4x e sin^4xcos^4x em termos de a:
A identidade (sin^2x+cos^2x)^2 = sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x
sin^4x+cos^4x = 1 - 2,sin^2xcos^2x = 1 - 2a^2
E
sin^4xcos^4x = (sin xcos x)^4 = a^4

Passo 4

Substituindo em sin^8x+cos^8x:
sin^8x+cos^8x = (1-2a^2)^2 - 2a^4 = 1 - 4a^2 + 4a^4 - 2a^4 = 1 - 4a^2 + 2a^4

Resposta

(E) 1 - 4a^2 + 2a^4

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