Estuda convergência das séries de termos positivos:
sumn=1^infty sen(1n^2)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty sen!l(tfrac1n^2r)
O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o critério de comparação com a série p, sabendo que a série sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Para aplicar comparação, precisamos entender o comportamento de sen(x) quando x é pequeno. Da expansão de Taylor ou de uma desigualdade clássica temos, para todo x>0,
sen(x)<x
Em particular, para cada n>=1 vale
sen!l(tfrac1n^2r)<tfrac1n^2

Passo 3

Como sumn=1^infty tfrac1n^2 é uma série p com p=2>1 (logo convergente), pelo critério da comparação direta com termos positivos temos
0 <= sen!l(tfrac1n^2r) < tfrac1n^2 Longrightarrow sumn=1^infty sen!l(tfrac1n^2r) conver>=

Resposta

A série sumn=1^infty senl(tfrac1n^2r) converge, por comparação com a série p de termo geral 1/n^2.

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