Q28

(UF-CE) Considere os números reais cos (32^circ), cos (150^circ), cos (243^circ) e cos (345^circ). Se x e y representam, respectivamente, o maior e o menor destes números, então x + y é igual a:
a) 2+raiz32
b) 3+raiz24
c) 2-raiz34
d) 3-raiz24
e) raiz3-raiz24

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos, entre os números
cos(32^circ), cos(150^circ), cos(243^circ) e cos(345^circ),
o maior valor x e o menor valor y, e então calcular x+y.
O conteúdo aqui é análise de sinais e valores de cosseno no círculo trigonométrico, além de uso de identidades para expressar cosenos de ângulos notáveis.

Passo 2

Identificamos aproximadamente cada cosseno para ver qual é o maior e o menor:
cos(32^circ)approx0,848
cos(150^circ)=-tfracraiz32approx-0,866
cos(243^circ)=cos(180^circ+63^circ)=-cos(63^circ)approx-0,454
cos(345^circ)=cos(360^circ-15^circ)=cos(15^circ)approx0,966
Logo, o maior é
x=cos(345^circ)=cos(15^circ),
e o menor é
y=cos(150^circ)=-raiz32

Passo 3

Vamos escrever ambos em forma de radicais exatos:
cos(15^circ) é uma cosseno de ângulo metade de 30^circ, e sabe-se que
cos(15^circ) =raiz1+cos(30^circ)2 =raiz1+raiz322 =raiz2+raiz34 =raiz2+raiz32
Também podemos usar a forma clássica
cos(15^circ) =raiz6+raiz24
E já temos
cos(150^circ)=-raiz32=-2raiz34

Passo 4

Agora computamos
x+y =cos(15^circ)+cos(150^circ) =raiz6+raiz24-2raiz34 =raiz6+raiz2-2raiz34

Resposta

x+y =raiz6+raiz2-2raiz34

Exercícios relacionados