Estuda convergência das séries de termos positivos:
sumn=1^infty sen(1n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^inftysen!l(tfrac1nr)
O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e o critério de comparação limite. Também precisamos usar o limite fundamental
limxto0sen xx=1

Passo 2

Vamos comparar com a série harmônica
sumn=1^infty1n,
que a gente sabe que diverge. Para isso, calculamos o limite
limntoinftysen!l(tfrac1nr)tfrac1n
Fazendo a troca x=tfrac1n, então xto0 quando ntoinfty, e temos
limntoinftysen!l(tfrac1nr)tfrac1n =limxto0sen xx=1

Passo 3

O critério de comparação limite diz que, se
limntoinftyanbn=L
com 0<L<infty, então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento (crescente/divergente ou convergente). Aqui an=sen(1/n) e bn=1/n, obtivemos L=1. Como sum bn diverge, concluímos que
sumn=1^inftysen!l(tfrac1nr)
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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