Q29

Seja ln a medida do lado de um polígono regular de n lados, inscrito em um círculo de raio R. Qual das afirmações abaixo está correta para todo valor de n ?
(A) sen(90^circ-180^circn)=ln2 R
(D) cos (90^circ-180^circn)=lnR
(B) sen(180^circn)=ln2 R
(E) sen(360^circn)=lnR
(C) sen(180^circn)=lnR

Passo 1

O enunciado diz que ln é a medida do lado de um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio R. Para relacionar ln e R vamos usar trigonometria num triângulo formado por dois raios e um lado.

Passo 2

Os dois raios e um lado formam um triângulo isósceles cujo ângulo central mede tfrac360^circn. Se traçarmos a altura desse triângulo até o lado oposto, dividimos o triângulo em dois retângulos iguais.

Passo 3

Em cada triângulo retângulo, o ângulo na base vale metade de tfrac360^circn, isto é, tfrac180^circn. Nesse retângulo, a hipotenusa é R e o cateto oposto a tfrac180^circn tem comprimento tfracln2. Pela definição de seno:
sin!l(tfrac180^circnr) =cateto opostohipotenusa =tfracln2R =ln2R

Resposta

(B) sin!l(tfrac180^circnr)=ln2R

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