Seja a função
dada por:
Determine se a função é diferenciável na origem
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
, definida por
, é diferenciável em
. O assunto é diferencial total de funções de
em
e vamos precisar usar a definição de diferenciabilidade, que exige um bom comportamento do resto em relação à norma do incremento.
Passo 2
Em primeiro lugar observamos que
. Se a função fosse diferenciável em
, sua diferencial seria um funcional linear
que satisfaz \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h2+k2}}=0. Calculamos as derivadas parciais em
pelas definições de quociente incremental ao longo dos eixos e achamos
e
. Logo o candidato a diferencial é o funcional linear nulo
.
Passo 3
Agora verificamos o critério de diferenciabilidade com
. Note que
Dividindo pelo módulo
, obtemos
e esse valor tende a zero quando
. Assim o resto é
e a função é diferenciável em
.
Resposta
A função é diferenciável na origem e sua diferencial em
é o funcional linear nulo, ou seja,
.