Seja a função f: R^2 longrightarrow R dada por:
f(x, y)=raizx^4+y^4
Determine se a função é diferenciável na origem

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f: R^2to R, definida por f(x,y)=raizx^4+y^4, é diferenciável em (0,0). O assunto é diferencial total de funções de R^2 em R e vamos precisar usar a definição de diferenciabilidade, que exige um bom comportamento do resto em relação à norma do incremento.

Passo 2

Em primeiro lugar observamos que f(0,0)=0. Se a função fosse diferenciável em (0,0), sua diferencial seria um funcional linear L(h,k)=a,h+b,k que satisfaz \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h2+k2}}=0. Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelas definições de quociente incremental ao longo dos eixos e achamos partial f/partial x(0,0)=0 e partial f/partial y(0,0)=0. Logo o candidato a diferencial é o funcional linear nulo L(h,k)=0.

Passo 3

Agora verificamos o critério de diferenciabilidade com L(h,k)=0. Note que
f(h,k)-L(h,k)=raizh^4+k^4<=raiz(h^2+k^2)^2=h^2+k^2=|(h,k)|^2
Dividindo pelo módulo |(h,k)|, obtemos
f(h,k)-L(h,k)|(h,k)|<=|(h,k)|^2|(h,k)|=|(h,k)|,
e esse valor tende a zero quando (h,k)to(0,0). Assim o resto é o(|(h,k)|) e a função é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função é diferenciável na origem e sua diferencial em (0,0) é o funcional linear nulo, ou seja, nabla f(0,0)=(0,0).

Exercícios relacionados