Estudando o capítulo 2, o aluno é introduzido ao conceito de campo elétrico gerado por uma fonte de partículas carregadas e por uma distribuição de densidade de carga elétrica (linear, superficial e volumétrica). No caso de uma distribuição de carga elétrica, o aluno aprende que o vetor campo elétrico resultante é obtido por uma integração sobre toda a densidade de carga distribuída ao longo da fonte contínua. A lista visa melhorar e reforçar esses conceitos.
Exercício 7:
Considere dois anéis não condutores concêntricos, um de raio R_{1}\) e outro de raio \(R_{2}\) com \(R_{2}> R_{1}\). Assumindo que os anéis 1 e 2 apresentem, respectivamente, as seguintes distribuições de carga linear \[\lambda_{1}\left(\theta^{\prime}\right)=\left\{ \begin{array}{lll} +\lambda_{0} & \text { para } & 0<\theta^{\prime}<\pi \\\\ -\lambda_{0} & \text { para } & \pi<\theta^{\prime}<2 \pi \end{array} , \quad \lambda_{2}\left(\theta^{\prime}\right)= \begin{cases}-\lambda_{0} & \text { para } 0<\theta^{\prime}<\pi \\\\ +\lambda_{0} & \text { para } \pi<\theta^{\prime}<2 \pi\end{cases} \right.
onde \lambda_{0}\] é positivo. Calcule o campo elétrico no eixo \(z perpendicular ao centro. Em seguida, ao fazermos z \gg R_{1} e R_{2}, o que você conclui?

Passo 1

O enunciado descreve dois anéis não condutores, concêntricos no plano xy, de raios R_{1}<R_{2}. Em cada anel há uma densidade linear de carga \lambda_{1}(\theta') e \lambda_{2}(\theta') definida por partes: no semicírculo superior vale \pm\lambda_{0} e no inferior vale \mp\lambda_{0}. Pede-se o campo elétrico ao longo do eixo z passando pelo centro dos anéis e depois a conclusão para z\gg R_{1},R_{2}. Vamos usar a expressão do campo de um elemento de carga num anel no eixo e integrar sobre a distribuiçãolinear.

Passo 2

Considere um ponto P no eixo z a uma distância z do plano dos anéis. Um elemento de carga num anel de raio R é
\mathrm{d}q=\lambda(\theta')\,R\,\mathrm{d}\theta'\,.
O vetor que liga esse elemento até P tem módulo \sqrt{R^{2}+z^{2}} e faz ângulo \alpha tal que \cos\alpha=z/\sqrt{R^{2}+z^{2}}. Pelo princípio de superposição, o elemento de campo em P tem módulo
\mathrm{d}E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathrm{d}q}{R^{2}+z^{2}}\,,
mas só a componente ao longo de z sobrevive após somar todas as direções, dada por
\mathrm{d}E_{z}=\mathrm{d}E\cos\alpha =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathrm{d}q}{R^{2}+z^{2}}\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\;\mathrm{d}q\,.

Passo 3

Agora integramos sobre \theta' para cada anel. Para o anel 1, de raio R_{1}:
E_{z,1} =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{z}{(R_{1}^{2}+z^{2})^{3/2}} \,\lambda_{1}(\theta')\,R_{1}\,\mathrm{d}\theta' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{z\,R_{1}}{(R_{1}^{2}+z^{2})^{3/2}} \int_{0}^{2\pi}\lambda_{1}(\theta')\,\mathrm{d}\theta'\,.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\lambda_{1}(\theta')\,\mathrm{d}\theta' =\int_{0}^{\pi}\lambda_{0}\,\mathrm{d}\theta' +\int_{\pi}^{2\pi}(-\lambda_{0})\,\mathrm{d}\theta' =\lambda_{0}\,\pi -\lambda_{0}\,\pi =0\,.
Logo E_{z,1}=0.

Passo 4

Idem para o anel 2, de raio R_{2}:
E_{z,2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{z\,R_{2}}{(R_{2}^{2}+z^{2})^{3/2}} \int_{0}^{2\pi}\lambda_{2}(\theta')\,\mathrm{d}\theta'
e
\int_{0}^{2\pi}\lambda_{2}(\theta')\,\mathrm{d}\theta' =\int_{0}^{\pi}(-\lambda_{0})\,\mathrm{d}\theta' +\int_{\pi}^{2\pi}\lambda_{0}\,\mathrm{d}\theta' =-\lambda_{0}\,\pi+\lambda_{0}\,\pi =0\,.
Portanto E_{z,2}=0.

Passo 5

Pelo princípio de superposição, o campo total no eixo z é
\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}=0+0=0\,.

Resposta

O campo elétrico em qualquer ponto do eixo z é zero: \displaystyle \vec{E}(0,0,z)=\mathbf{0}.
Para z\gg R_{1},R_{2}, continua valendo \vec{E}=0.

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