Um estudante curioso estava observando o comportamento do ketchup enquanto comia seu lanche. Ele reparou que quando ele apenas tombava o tubo de ketchup, o molho não escorria para fora do tubo. Mas quando ele apertava o recipiente, o ketchup escorria facilmente para o seu lanche. Intrigado com tal fato ele resolveu pesquisar o que causava tal comportamento e descobriu que tal característica se relacionava com o fluido ser ou não newtoniano. Descobriu ainda que tal classificação é modelada pela seguinte lei de escala:
mu=K Gamma^n-1
onde mu é a viscosidade (ou atrito interno) efetiva do fluido, K é uma constante de proporcionalidade e Gamma é a taxa de deformação (ou gradiente da velocidade). Assim, o fluido é dito newtoniano se n=1 e não newtoniano se n neq 1.
Determinado a verificar qual é a classificação do ketchup, o estudante fez alguns experimentos e chegou aos resultados mostrados na Tabela abaixo.
Gamma(s^-1) mu( Pa.s )
22,5 0,052
4,1 0,42
2,8 0,82
0,92 2,3
0,39 8,4
Finalmente, escreva a equação da lei de escala substituindo os valores encontrados no item (b) e ©. A partir do valor de n encontrado no item (b), determine se o ketchup é ou não um fluído newtoniano.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que o ketchup tem viscosidade variável e segue a lei de escala
mu = K,Gamma^,n-1,
onde é a viscosidade, a taxa de deformação, uma constante e o expoente que define se o fluido é newtoniano ( ) ou não ( ).
A tabela de dados é:
(s⁻¹) (Pa·s)
22,5 0,052
4,1 0,42
2,8 0,82
0,92 2,3
0,39 8,4
O que precisamos fazer: linearizar essa lei para encontrar e (usando logaritmos e regressão linear) e depois dizer se o ketchup é newtoniano ou não.

Passo 2

Pra linearizar a lei a gente toma log em ambos os lados:
lnmu = ln K + (n-1),lnGamma
Isso tem formato de reta , com
-
-
-
- .

Passo 3

Calculemos e para cada ponto:
22,5 0,052 3,113 –2,956
4,1 0,42 1,411 –0,868
2,8 0,82 1,029 –0,198
0,92 2,3 –0,083 0,832
0,39 8,4 –0,944 2,128
(Usei ln natural aqui.)

Passo 4

Agora aplicamos regressão linear pelo método dos mínimos quadrados para achar saída b = Nsum xi yi - sum xi sum yiNsum xi^2 - (sum xi)^2, a = sum yi - b,sum xiN, e coeficiente angular b = -1,23, a = 0,90:
com . Se fizer as contas dá aproximadamente

Passo 5

Como n = b + 1 approx -1,23 + 1 = -0,23,, temos
K = e^a approx e^0,90 = 2,46
e como ,

Passo 6

Substituindo na lei de escala:
boxed mu = 2,46;Gamma^-1,23

Resposta

Como , o ketchup não é um fluido newtoniano (ele é fortemente shear-thinning).

Exercícios relacionados