Um estudante curioso estava observando o comportamento do ketchup enquanto comia seu lanche. Ele reparou que quando ele apenas tombava o tubo de ketchup, o molho não escorria para fora do tubo. Mas quando ele apertava o recipiente, o ketchup escorria facilmente para o seu lanche. Intrigado com tal fato ele resolveu pesquisar o que causava tal comportamento e descobriu que tal característica se relacionava com o fluido ser ou não newtoniano. Descobriu ainda que tal classificação é modelada pela seguinte lei de escala:
onde
é a viscosidade (ou atrito interno) efetiva do fluido,
é uma constante de proporcionalidade e
é a taxa de deformação (ou gradiente da velocidade). Assim, o fluido é dito newtoniano se
e não newtoniano se
.
Determinado a verificar qual é a classificação do ketchup, o estudante fez alguns experimentos e chegou aos resultados mostrados na Tabela abaixo.
Determinado a verificar qual é a classificação do ketchup, o estudante fez alguns experimentos e chegou aos resultados mostrados na Tabela abaixo.
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|
---|---|
22,5 | 0,052 |
4,1 | 0,42 |
2,8 | 0,82 |
0,92 | 2,3 |
0,39 | 8,4 |
Finalmente, escreva a equação da lei de escala substituindo os valores encontrados no item (b) e ©. A partir do valor de
encontrado no item (b), determine se o ketchup é ou não um fluído newtoniano.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que o ketchup tem viscosidade variável e segue a lei de escala
onde
A tabela de dados é:
|
|
---|---|
22,5 | 0,052 |
4,1 | 0,42 |
2,8 | 0,82 |
0,92 | 2,3 |
0,39 | 8,4 |
O que precisamos fazer: linearizar essa lei para encontrar
e
(usando logaritmos e regressão linear) e depois dizer se o ketchup é newtoniano ou não.
Passo 2
Pra linearizar a lei a gente toma log em ambos os lados:
Isso tem formato de reta
-
-
-
-
Passo 3
Calculemos
e
para cada ponto:
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22,5 | 0,052 | 3,113 | –2,956 |
4,1 | 0,42 | 1,411 | –0,868 |
2,8 | 0,82 | 1,029 | –0,198 |
0,92 | 2,3 | –0,083 | 0,832 |
0,39 | 8,4 | –0,944 | 2,128 |
(Usei ln natural aqui.)
Passo 4
Agora aplicamos regressão linear pelo método dos mínimos quadrados para achar saída
e coeficiente angular
:
com
. Se fizer as contas dá aproximadamente
Passo 5
Como
, temos
e como
,
Passo 6
Substituindo na lei de escala:
Resposta
Como
, o ketchup não é um fluido newtoniano (ele é fortemente shear-thinning).