A relação entre o período de um pêndulo mecânico (T) e o comprimento (L) é dada por expressão: T=2 pi(L / g)^0.5. Experimentalmente foi medida a dependência T(L) apresentada na tabela:
L(m) 1 2 4 6 8 10
T(s) 2 2.8 3.8 4.9 5.7 6.3
Usando a linha reta determine o valor da aceleração g.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre pêndulos mecânicos. A gente precisa entender como o período de um pêndulo (T) se relaciona com o comprimento (L). A fórmula que nos dá essa relação é $ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade que queremos encontrar. A tabela nos dá valores de L e T, e vamos usar uma linha reta para determinar $ g $.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a fórmula para facilitar a criação de uma linha reta. Se elevamos ambos os lados ao quadrado, temos:
T^2 = (2pi)^2 Lg
T^2 = 4pi^2g cdot L
Isso mostra que $ T^2 $ é proporcional a $ L $, ou seja, podemos plotar $ T^2 $ no eixo y e $ L $ no eixo x para obter uma linha reta.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ T^2 $ para cada valor de T na tabela:
$ L $ (m) 1 2 4 6 8 10
$ T $ (s) 2 2.8 3.8 4.9 5.7 6.3
$ T^2 $ (s²) 4 7.84 14.44 24.01 32.49 39.69

Passo 4

Com esses valores, podemos calcular a inclinação da linha reta que melhor se ajusta aos pontos. A inclinação $ m $ dessa linha é igual a $ \frac{4\pi^2}{g} $.

Passo 5

Para encontrar a inclinação, usamos a fórmula da inclinação de uma linha reta:
m = sum(L - L)(T^2 - T^2)sum(L - L)^2
Primeiro, calculamos as médias de L e $ T^2 $:
T^2
L = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 106 = 316 approx 5,17 , m

Passo 6

Agora, calculamos os termos do numerador e denominador:
$ L $ $ T^2 $ $ L - \overline{L} $ $ T^2 - \overline{T^2} $ $ (L - \overline{L})(T^2 - \overline{T^2}) $ $ (L - \overline{L})^2 $
1 4 -4,17 -16,24 67,67 17,39
2 7.84 -3,17 -12,4 39,28 10,05
4 14.44 -1,17 -5,8 6,80 1,37
6 24.01 0,83 3,77 3,13 0,69
8 32.49 2,83 12,25 34,64 8,00
10 39,69 4,83 19,45 93,98 23,35
Somando:
L
T^2

Passo 7

Agora, calculamos a inclinação:
m = 245,5060,85 approx 4,03

Passo 8

Sabemos que $ m = \frac{4\pi^2}{g} $. Então, resolvemos para $ g $:
m = 4pi^2g
g
g = 4pi^2m

Resposta

A aceleração da gravidade calculada é aproximadamente $ 9,79 , m/s^2 $.

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