A relação entre o período de um pêndulo mecânico
e o comprimento (L) é dada por expressão:
. Experimentalmente foi medida a dependência
apresentada na tabela:
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1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|
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2 | 2.8 | 3.8 | 4.9 | 5.7 | 6.3 |
Usando a linha reta determine o valor da aceleração g.
Passo 1
Então, temos um exercício sobre pêndulos mecânicos. A gente precisa entender como o período de um pêndulo (T) se relaciona com o comprimento (L). A fórmula que nos dá essa relação é $ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade que queremos encontrar. A tabela nos dá valores de L e T, e vamos usar uma linha reta para determinar $ g $.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a fórmula para facilitar a criação de uma linha reta. Se elevamos ambos os lados ao quadrado, temos:
Isso mostra que $ T^2 $ é proporcional a $ L $, ou seja, podemos plotar $ T^2 $ no eixo y e $ L $ no eixo x para obter uma linha reta.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ T^2 $ para cada valor de T na tabela:
$ L $ (m) | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|
$ T $ (s) | 2 | 2.8 | 3.8 | 4.9 | 5.7 | 6.3 |
$ T^2 $ (s²) | 4 | 7.84 | 14.44 | 24.01 | 32.49 | 39.69 |
Passo 4
Com esses valores, podemos calcular a inclinação da linha reta que melhor se ajusta aos pontos. A inclinação $ m $ dessa linha é igual a $ \frac{4\pi^2}{g} $.
Passo 5
Para encontrar a inclinação, usamos a fórmula da inclinação de uma linha reta:
Primeiro, calculamos as médias de L e $ T^2 $:
Passo 6
Agora, calculamos os termos do numerador e denominador:
$ L $ | $ T^2 $ | $ L - \overline{L} $ | $ T^2 - \overline{T^2} $ | $ (L - \overline{L})(T^2 - \overline{T^2}) $ | $ (L - \overline{L})^2 $ |
---|---|---|---|---|---|
1 | 4 | -4,17 | -16,24 | 67,67 | 17,39 |
2 | 7.84 | -3,17 | -12,4 | 39,28 | 10,05 |
4 | 14.44 | -1,17 | -5,8 | 6,80 | 1,37 |
6 | 24.01 | 0,83 | 3,77 | 3,13 | 0,69 |
8 | 32.49 | 2,83 | 12,25 | 34,64 | 8,00 |
10 | 39,69 | 4,83 | 19,45 | 93,98 | 23,35 |
Somando:
Passo 7
Agora, calculamos a inclinação:
Passo 8
Sabemos que $ m = \frac{4\pi^2}{g} $. Então, resolvemos para $ g $:
Resposta
A aceleração da gravidade calculada é aproximadamente $ 9,79 , m/s^2 $.