Um estudante de física deixa cair um diapasão vibrando a 440 Hz no poço de um elevador de um edifício alto. Considerando que, em determinado instante, o estudante ouve uma frequência de 400 Hz
a que distância ele está do diapasão em queda neste momento?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um estudante de física que deixa cair um diapasão que vibra a 440 Hz no poço de um elevador em um edifício alto. Em um determinado momento, ele ouve uma frequência de 400 Hz. Nosso objetivo é descobrir a que distância ele está do diapasão nesse instante.
Matéria envolvida: Efeito Doppler para ondas sonoras.
O que precisamos: Entender como o movimento relativo entre a fonte da onda (diapasão) e o observador (estudante) afeta a percepção da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Efeito Doppler. Ele descreve como a frequência de uma onda sonora muda para um observador que está em movimento relativo em relação à fonte da onda. Se a fonte está se movendo em direção ao observador, a frequência percebida aumenta; se está se afastando, a frequência percebida diminui.

Passo 3

Na nossa situação, o diapasão está sendo deixado cair, o que significa que está se movendo em direção ao chão, ou seja, afastando-se do estudante que está no elevador. Por isso, a frequência que o estudante ouve (400 Hz) é menor que a frequência emitida pelo diapasão (440 Hz).

Passo 4

Vamos usar a fórmula do Efeito Doppler para uma fonte que se afasta do observador:
f' = f ( vv + vs )
Onde:
  • $ f’ $ é a frequência observada (400 Hz)
  • $ f $ é a frequência emitida (440 Hz)
  • $ v $ é a velocidade do som no ar (aproximadamente 340 m/s)
  • $ v_s $ é a velocidade da fonte em relação ao observador

Passo 5

Rearranjando a fórmula para encontrar $ v_s $:
vs
v' = ff' times v - v
Substituindo os valores:
vs = v ( ff' - 1 )
vs = 340 times ( 440400 - 1 )
vs = 340 times (1,1 - 1)
vs = 340 times 0,1

Passo 6

Agora que sabemos a velocidade do diapasão ($ v_s = 34 , m/s $), podemos encontrar a distância percorrida pelo diapasão em um determinado tempo. Porém, a questão não nos fornece o tempo diretamente. Para relacionar a distância, precisamos considerar a aceleração devido à gravidade, já que o diapasão está sendo deixado cair.
A velocidade final em queda livre é dada por:
vs = 34 , m/s
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $)
  • $ t $ é o tempo de queda
Igualando as duas expressões para $ v $:
v = g times t
g
9,8 , m/s^2

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância percorrida pelo diapasão nesse tempo usando a fórmula da distância em queda livre:
d = 12 g t^2
Substituindo os valores:
d = 12 times 9,8 times (3,47)^2
d = 4,9 times 12,04
d approx 58,9 , metros

Resposta

O estudante está aproximadamente a 58,9 metros de distância do diapasão no momento em que ouve a frequência de 400 Hz.

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