Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(4 t, t^2, 0), r2=(2 t, t^4, 0). Calcule o momento angular total do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições das partículas variam com o tempo e são dadas pelos vetores r1 = (4t, t^2, 0) e r2 = (2t, t^4, 0). Nosso objetivo aqui é calcular o momento angular total desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados ao momento angular, que envolve vetores posição, velocidade e massa das partículas. Além disso, vamos usar matemática para calcular derivadas e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as velocidades das partículas. Como a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, vamos derivar cada componente dos vetores posição.
Para a partícula 1:
v1 = dr1dt = ( ddt(4t), ddt(t^2), ddt(0) ) = (4, 2t, 0)
Para a partícula 2:
v2 = dr2dt = ( ddt(2t), ddt(t^4), ddt(0) ) = (2, 4t^3, 0)

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento linear de cada partícula. A fórmula para o momento linear p é:
p = m v
onde m é a massa e v é a velocidade.
Para a partícula 1:
p1 = 2 , kg times (4, 2t, 0) = (8, 4t, 0)
Para a partícula 2:
p2 = 2 , kg times (2, 4t^3, 0) = (4, 8t^3, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento angular de cada partícula. A fórmula para o momento angular L é:
L = r times p
onde r é o vetor posição e p é o momento linear.
Para a partícula 1:
L1 = (4t, t^2, 0) times (8, 4t, 0)
Calculando o produto vetorial:
L1 = | ccc i & j & k 4t & t^2 & 0 8 & 4t & 0 | = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (16t^2 - 8t^2)k = 8t^2 k
Para a partícula 2:
L2 = (2t, t^4, 0) times (4, 8t^3, 0)
Calculando o produto vetorial:
L2 = | ccc i & j & k 2t & t^4 & 0 4 & 8t^3 & 0 | = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (16t^4 - 4t^4)k = 12t^4 k

Passo 5

Agora, vamos somar os momentos angulares das duas partículas para encontrar o momento angular total do sistema:
Ltotal = L1 + L2 = 8t^2 k + 12t^4 k = (8t^2 + 12t^4) k

Resposta

O momento angular total do sistema é:
Ltotal = (8t^2 + 12t^4) k

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