Suponha que o tempo de vida, em anos, de um material tem função densidade de probabilidade dada por
Calcule a probabilidade que a variável aleatória
ultrapasse seu valor médio, isto é, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre probabilidade envolvendo uma função densidade de probabilidade. A gente precisa calcular a probabilidade de que a vida útil de um material, representada pela variável aleatória $ X $, seja maior que o valor médio dessa vida útil, ou seja, $ P(X > E(X)) $. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a função densidade, calcular o valor esperado $ E(X) $ e depois usar isso para achar a probabilidade que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor esperado $ E(X) $. O valor esperado é basicamente a média ponderada de todos os valores que $ X $ pode assumir, ponderada pela sua probabilidade. Matematicamente, é dado por:
No nosso caso, a função densidade $ f_X(x) $ é zero para $ x < 1 $ e igual a $ \frac{2}{x^3} $ para $ x \geq 1 $. Então, podemos simplificar a integral para:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral:
A antiderivada de $ \frac{2}{x^2} $ é $ -\frac{2}{x} $. Então, avaliando entre 1 e $ \infty $:
Então, o valor esperado $ E(X) $ é 2 anos.
Passo 4
Agora que sabemos que $ E(X) = 2 $, vamos calcular a probabilidade de que $ X $ seja maior que 2:
Passo 5
Vamos resolver essa integral:
A antiderivada de $ \frac{2}{x^3} $ é $ -\frac{1}{x^2} $. Avaliando entre 2 e $ \infty $:
Resposta
A probabilidade de que a vida útil $ X $ ultrapasse o valor médio $ E(X) $ é de $ \frac{1}{4} $ ou 25%.