Um estudante portador do vírus da gripe retorna para um campus universitário fechado com mil estudantes. Uma teoria de disseminação da epidemia afirma que a taxa da população infectada é proporcional ao produto do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos sem a doença. Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para que 10 \% dos estudantes contraia a doença. Assuma que a constante de proporcionalidade é igual a \frac{1}{1000}.
Use que: \ln (1 / 9)=-2 ; \ln (999)=7 e \ln (111)=5.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o tempo necessário para que 10\% dos 1000 estudantes fiquem infectados, sabendo que inicialmente há 1 estudante infectado e que a constante de proporcionalidade é \tfrac{1}{1000}. Dados relevantes fornecidos:
  • População total N=1000.
  • Condição inicial: I(0)=1 (um estudante infectado no tempo inicial).
  • Constante de proporcionalidade: k=\tfrac{1}{1000}.
  • Objetivo: encontrar t tal que I(t)=0{,}10\cdot1000=100.
  • Valores de logaritmo fornecidos: \ln(1/9)=-2, \ln(999)=7 e \ln(111)=5.

Passo 2

Traduzimos a regra verbal “a taxa da população infectada é proporcional ao produto do número de infectados pelo número de não infectados” para uma equação diferencial. Seja I(t) o número de infectados no tempo t. A proporcionalidade dá:
\frac{dI}{dt}=k\,I\,(N-I).
Aqui I(t) é o número de infectados, N é a população total e k é a constante de proporcionalidade ( k=\tfrac{1}{1000}). Esta é a equação logística para I(t).

Passo 3

Vamos separar variáveis para integrar. Escrevemos:
\frac{dI}{I(N-I)}=k\,dt.
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Note que
\frac{1}{I(N-I)}=\frac{1}{N}\left(\frac{1}{I}+\frac{1}{N-I}\right),
porque ao somar as frações do lado direito obtemos \frac{N}{I(N-I)}\cdot\frac{1}{N}=\frac{1}{I(N-I)}. Isso nos facilita a integração.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
\int \frac{dI}{I(N-I)}=\int k\,dt
torna-se, usando a decomposição:
\frac{1}{N}\int\left(\frac{1}{I}+\frac{1}{N-I}\right)dI = k t + C.
Calculando as integrais:
\frac{1}{N}\bigl(\ln|I| - \ln|N-I|\bigr)=k t + C.
Multiplicando por N e combinando a constante, obtemos
\ln\!\left(\frac{I}{N-I}\right)=N k t + C'.

Passo 5

Exponenciando para isolar I:
\frac{I}{N-I}=C e^{N k t},
onde C=e^{C'} é uma constante determinada pela condição inicial. Resolvendo para I:
I(t)=\frac{N C e^{N k t}}{1+C e^{N k t}}=\frac{N}{1+\dfrac{1}{C}e^{-N k t}}.
É costume definir A=\dfrac{1}{C}, então
I(t)=\frac{N}{1+A e^{-N k t}}.

Passo 6

Usamos a condição inicial I(0)=1 para achar A:
1=\frac{N}{1+A},
logo 1+A=N e
A=N-1=1000-1=999.
Portanto a solução explícita fica
I(t)=\frac{1000}{1+999 e^{-N k t}}.

Passo 7

Calcule N k. Com N=1000 e k=\tfrac{1}{1000},
N k = 1000\cdot\frac{1}{1000}=1.
Logo a solução simplifica muito:
I(t)=\frac{1000}{1+999 e^{-t}}.

Passo 8

Impondo I(t)=100 (10% da população) e resolvendo para t:
100=\frac{1000}{1+999 e^{-t}}.
Passos algébricos:
1+999 e^{-t}=\frac{1000}{100}=10,
999 e^{-t}=9,
e^{-t}=\frac{9}{999}=\frac{1}{111}.

Passo 9

Tomando logaritmo natural:
-t=\ln\!\left(\frac{1}{111}\right),
portanto
t=-\ln\!\left(\frac{1}{111}\right)=\ln(111).
Usamos o valor fornecido \ln(111)=5. Assim
t=5.

Resposta

5

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