Um estudante portador do vírus da gripe retorna para um campus universitário fechado com mil estudantes. Uma teoria de disseminação da epidemia afirma que a taxa da população infectada é proporcional ao produto do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos sem a doença. Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para que
dos estudantes contraia a doença. Assuma que a constante de proporcionalidade é igual a
.
Use que:
e
.
Use que:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o tempo necessário para que
dos
estudantes fiquem infectados, sabendo que inicialmente há
estudante infectado e que a constante de proporcionalidade é
. Dados relevantes fornecidos:
- População total
. - Condição inicial:
(um estudante infectado no tempo inicial). - Constante de proporcionalidade:
. - Objetivo: encontrar
tal que . - Valores de logaritmo fornecidos:
, e .
Passo 2
Traduzimos a regra verbal “a taxa da população infectada é proporcional ao produto do número de infectados pelo número de não infectados” para uma equação diferencial. Seja
o número de infectados no tempo
. A proporcionalidade dá:
Aqui
é o número de infectados,
é a população total e
é a constante de proporcionalidade (
). Esta é a equação logística para
.
Passo 3
Vamos separar variáveis para integrar. Escrevemos:
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Note que
porque ao somar as frações do lado direito obtemos
. Isso nos facilita a integração.
Passo 4
Integrando ambos os lados:
torna-se, usando a decomposição:
Calculando as integrais:
Multiplicando por
e combinando a constante, obtemos
Passo 5
Exponenciando para isolar
:
onde
é uma constante determinada pela condição inicial. Resolvendo para
:
É costume definir
, então
Passo 6
Usamos a condição inicial
para achar
:
logo
e
Portanto a solução explícita fica
Passo 7
Calcule
. Com
e
,
Logo a solução simplifica muito:
Passo 8
Impondo
(10% da população) e resolvendo para
:
Passos algébricos:
Passo 9
Tomando logaritmo natural:
portanto
Usamos o valor fornecido
. Assim