Um recipiente com capacidade para 40 litros está cheio com uma mistura de nitrogênio e oxigênio (O nitrogênio ocupa, inicialmente,
do volume enquanto o oxigênio ocupa
do volume). A partir do instante
, nitrogênio puro entra no recipiente a uma taxa de 0,2 litros por segundo, e o gás (oxigênio + nitrogênio), bem misturado, sai do recipiente a uma taxa de 0,2 litros por segundo
(i) Qual o (PVI)? Justifique sua resposta.
(ii) Determine o volume de nitrogênio no recipiente em função do tempo.
(iii) Depois de quanto tempo o recipiente terá
de nitrogênio?
Se precisar, use que:
.
(i) Qual o (PVI)? Justifique sua resposta.
(ii) Determine o volume de nitrogênio no recipiente em função do tempo.
(iii) Depois de quanto tempo o recipiente terá
Se precisar, use que:
Passo 1
O problema dá um recipiente com capacidade
litros e pede três coisas:
- (i) Formular o PVI (problema de valor inicial) que descreve a quantidade de nitrogênio ao longo do tempo.
- (ii) Determinar o volume de nitrogênio no recipiente em função do tempo.
- (iii) Encontrar o tempo em que o recipiente terá
de nitrogênio.
Informações fornecidas e dados numéricos (todos essenciais):
- Capacidade total do recipiente:
litros. - Percentual inicial de nitrogênio:
. Logo o volume inicial de nitrogênio é de litros, isto é litros. - Percentual inicial de oxigênio:
(conferência: não usaremos esse número diretamente, só para checar a consistência). - Entrada: nitrogênio puro entra a taxa
litros por segundo. - Saída: mistura (nitrogênio + oxigênio), bem misturada, sai à taxa
litros por segundo. - Observação importante do enunciado: as taxas de entrada e saída são iguais, portanto o volume no recipiente permanece constante em
litros.
Passo 2
Modelagem passo a passo (montando a equação diferencial; aqui vou explicar a lógica para você aprender a fazer igual na prova).
Defina a quantidade de nitrogênio no tanque no instante
por
(unidade: litros). Queremos uma equação para a taxa de variação
.
- Regra geral: taxa de variação = taxa de entrada de nitrogênio − taxa de saída de nitrogênio.
- Taxa de entrada de nitrogênio: entra nitrogênio puro a
L/s. Então a entrada de nitrogênio é simplesmente
- Taxa de saída de nitrogênio: sai a mistura à razão
L/s. A fração da mistura que é nitrogênio é (litros de nitrogênio dividido pelo volume total L). Assim a taxa de saída de nitrogênio é
Simplificando a constante:
Logo
- A equação diferencial fica
- Condição inicial (do Passo 1):
Portanto o PVI (resposta do item (i)) é:
Passo 3
Agora vamos resolver o PVI. Vou explicar o método de forma bem didática: essa é uma equação linear de primeira ordem do tipo
com
e
. O método padrão é usar o fator integrante (integrating factor).
- Fator integrante:
- Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é
- Integramos em
:
Calcule a integral:
. Multiplicando por
obtemos
. Assim
- Isolando
:
Passo 4
Aplicando a condição inicial para achar
:
- Em
: . Substituindo na expressão geral:
Logo
Substituindo
na solução geral:
Interpretação rápida (útil para a prova): quando
temos
, então
litros — faz sentido físico: com entrada contínua de nitrogênio puro e saída da mistura, eventualmente o tanque fica praticamente cheio de nitrogênio puro (40 L).
Portanto a resposta do item (ii) é
litros.
Passo 5
Agora o item (iii): queremos saber quando o tanque terá
de nitrogênio.
de
litros é
Logo resolvemos
:
Rearranjando:
Tomando logaritmo natural:
O enunciado fornece
. Portanto
Calcule
:
, então
Se preferir em minutos:
segundos =
minutos e
segundos.
Resposta
(i)
(ii) litros.
(iii) (ou
min
s).
(ii)
(iii)