Um recipiente com capacidade para 40 litros está cheio com uma mistura de nitrogênio e oxigênio (O nitrogênio ocupa, inicialmente, 60 \% do volume enquanto o oxigênio ocupa 40 \% do volume). A partir do instante t=0, nitrogênio puro entra no recipiente a uma taxa de 0,2 litros por segundo, e o gás (oxigênio + nitrogênio), bem misturado, sai do recipiente a uma taxa de 0,2 litros por segundo
(i) Qual o (PVI)? Justifique sua resposta.
(ii) Determine o volume de nitrogênio no recipiente em função do tempo.
(iii) Depois de quanto tempo o recipiente terá 90 \% de nitrogênio?
Se precisar, use que: \ln (4)=1,4 ; \ln (1 / 4)=-1,4.

Passo 1

O problema dá um recipiente com capacidade 40 litros e pede três coisas:
  1. (i) Formular o PVI (problema de valor inicial) que descreve a quantidade de nitrogênio ao longo do tempo.
  2. (ii) Determinar o volume de nitrogênio no recipiente em função do tempo.
  3. (iii) Encontrar o tempo em que o recipiente terá 90\% de nitrogênio.
Informações fornecidas e dados numéricos (todos essenciais):
  • Capacidade total do recipiente: 40 litros.
  • Percentual inicial de nitrogênio: 60\%. Logo o volume inicial de nitrogênio é 60\% de 40 litros, isto é \;N(0)=0,60\cdot 40=24 litros.
  • Percentual inicial de oxigênio: 40\% (conferência: não usaremos esse número diretamente, só para checar a consistência).
  • Entrada: nitrogênio puro entra a taxa \;0,2 litros por segundo.
  • Saída: mistura (nitrogênio + oxigênio), bem misturada, sai à taxa \;0,2 litros por segundo.
  • Observação importante do enunciado: as taxas de entrada e saída são iguais, portanto o volume no recipiente permanece constante em 40 litros.

Passo 2

Modelagem passo a passo (montando a equação diferencial; aqui vou explicar a lógica para você aprender a fazer igual na prova).
Defina a quantidade de nitrogênio no tanque no instante t por N(t) (unidade: litros). Queremos uma equação para a taxa de variação \dfrac{dN}{dt}.
  • Regra geral: taxa de variação = taxa de entrada de nitrogênio − taxa de saída de nitrogênio.
  1. Taxa de entrada de nitrogênio: entra nitrogênio puro a \;0,2 L/s. Então a entrada de nitrogênio é simplesmente
\text{entrada} = 0,2 \quad\text{(L/s)}.
  1. Taxa de saída de nitrogênio: sai a mistura à razão 0,2 L/s. A fração da mistura que é nitrogênio é \dfrac{N(t)}{40} (litros de nitrogênio dividido pelo volume total 40 L). Assim a taxa de saída de nitrogênio é
\text{saída} = \text{(taxa de saída total)} \times \text{fração de N} = 0,2\cdot \frac{N(t)}{40}.ííçã
Simplificando a constante:
0,2\cdot \frac{1}{40}= \frac{0,2}{40}=0,005.
Logo
\text{saída} = 0,005\,N(t).í
  1. A equação diferencial fica
\frac{dN}{dt} = 0,2 - 0,005\,N(t).
  1. Condição inicial (do Passo 1): \;N(0)=24.
Portanto o PVI (resposta do item (i)) é:
\frac{dN}{dt} = 0,2 - 0,005\,N,\qquad N(0)=24.

Passo 3

Agora vamos resolver o PVI. Vou explicar o método de forma bem didática: essa é uma equação linear de primeira ordem do tipo
\frac{dN}{dt}+p\,N=q
com p=0,005 e q=0,2. O método padrão é usar o fator integrante (integrating factor).
  1. Fator integrante:
\mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{\int 0,005\,dt}=e^{0,005t}.
  1. Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{0,005t}\frac{dN}{dt}+0,005\,e^{0,005t}N = 0,2\,e^{0,005t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{0,005t}N(t), isto é
\frac{d}{dt}\bigl(e^{0,005t}N(t)\bigr)=0,2\,e^{0,005t}.
  1. Integramos em t:
e^{0,005t}N(t)=\int 0,2\,e^{0,005t}\,dt + C.
Calcule a integral: \displaystyle \int e^{0,005t}\,dt=\frac{1}{0,005}e^{0,005t}=200\,e^{0,005t}. Multiplicando por 0,2 obtemos 0,2\cdot 200\,e^{0,005t}=40\,e^{0,005t}. Assim
e^{0,005t}N(t)=40\,e^{0,005t}+C.
  1. Isolando N(t):
N(t)=40 + C\,e^{-0,005t}.

Passo 4

Aplicando a condição inicial para achar C:
  • Em t=0: N(0)=24. Substituindo na expressão geral:
24 = 40 + C\cdot e^{0} = 40 + C.
Logo
C = 24-40 = -16.
Substituindo C na solução geral:
N(t)=40 - 16\,e^{-0,005t}.
Interpretação rápida (útil para a prova): quando t\to\infty temos e^{-0,005t}\to 0, então N(t)\to 40 litros — faz sentido físico: com entrada contínua de nitrogênio puro e saída da mistura, eventualmente o tanque fica praticamente cheio de nitrogênio puro (40 L).
Portanto a resposta do item (ii) é \;N(t)=40-16\,e^{-0,005t} litros.

Passo 5

Agora o item (iii): queremos saber quando o tanque terá 90\% de nitrogênio. 90\% de 40 litros é
0,90\cdot 40 = 36\\ \text{litros}.
Logo resolvemos N(t)=36:
36 = 40 - 16\,e^{-0,005t}.
Rearranjando:
16\,e^{-0,005t} = 4 \quad\Rightarrow\quad e^{-0,005t} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.
Tomando logaritmo natural:
-0,005t = \ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right).
O enunciado fornece \ln(1/4)=-1,4. Portanto
-0,005t = -1,4 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{1,4}{0,005}.
Calcule t: 0,005 = 5\times 10^{-3}, então
t = \frac{1,4}{0,005} = 280\\ \text{segundos}.
Se preferir em minutos: 280 segundos = 4 minutos e 40 segundos.

Resposta

(i) \displaystyle \frac{dN}{dt}=0,2-0,005\,N,\quad N(0)=24.
(ii) \displaystyle N(t)=40-16\,e^{-0,005t} litros.
(iii) \displaystyle t=280\\ \text{segundos} (ou 4 min 40 s).

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