Encontre o limite, se existir, ou mostre que não existe. \lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)}\left(5 x^{3}-x^{2} y^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede o limite quando (x,y) se aproxima do ponto (1,-1) da função
f(x,y)=5x^{3}-x^{2}y^{2}.
Informações dadas:
\text{função }f(x,y)=5x^{3}-x^{2}y^{2},\qquad\text{ponto de aproximação }(x,y)\to(1,-1).
A pergunta explícita é: existe o limite \lim_{(x,y)\to(1,-1)}\bigl(5x^{3}-x^{2}y^{2}\bigr)? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Vou escolher um método direto: verificar se podemos calcular o limite apenas substituindo (x,y) por (1,-1). Para isso precisamos usar a ideia de que funções formadas por soma, produto e potência de x e y têm comportamento bem comportado quando nos aproximamos de um ponto — ou seja, são contínuas. A seguir eu explico o que significa isso e por que vale aqui.
Passo 3
O que é “contínuo” e por que isso facilita? Intuitivamente, uma função g(x,y) é contínua num ponto (a,b) se os valores de g(x,y) se aproximam de g(a,b) sempre que (x,y) se aproxima de (a,b). Formalmente, isso significa que
\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) = g(a,b).
Uma propriedade útil (e que costuma ser mostrada nas aulas) é: as funções coordenadas x e y são contínuas; as operações de soma, produto e potência preservam continuidade; portanto qualquer polinômio em x e y é contínuo em todo ponto do plano. Vou aplicar essa propriedade ao nosso f.
Passo 4
Aplicando a propriedade anterior ao nosso caso:
A função x\mapsto x é contínua e também y\mapsto y é contínua.
Então x\mapsto x^{3} e x\mapsto x^{2} são contínuas (potência de função contínua).
Também y\mapsto y^{2} é contínua.
O produto x^{2}y^{2} é produto de funções contínuas, logo contínuo.
A combinação 5x^{3}-x^{2}y^{2} é soma e produto de contínuas, logo contínua.
Como f é contínua em (1,-1), podemos calcular o limite simplesmente avaliando f em (1,-1):
Como justificativa alternativa curta (para me deixar mais seguro): se você tomar qualquer sequência (x_{n},y_{n}) que tende a (1,-1), os termos x_{n}^{3} tendem a 1^{3}=1 e x_{n}^{2}y_{n}^{2} tendem a 1, logo 5x_{n}^{3}-x_{n}^{2}y_{n}^{2} tende a 5-1=4. Isso confirma que o limite existe e é 4.